Conceptos Fundamentales de Cálculo: Integrales, Derivadas y Ecuaciones Diferenciales

Integral de Riemann

La integral definida de Riemann se define como: ∫_a^bf(x)dx = lim_(h→∞)∑ f(Xi*)ΔXi. Si Xi* es el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo: Xi*=Xi=a+i(b-a/n) para una partición regular. Entonces: ∫_a^bf(x)dx = lim_(h→∞)∑ f(a+i(b-a/n)(b-a/n). Se puede sacar el último (b-a/n) afuera de la sumatoria.

Existencia de la Integral

∫_a^bf(x)dx existe si f es continua en [a,b]. En el caso que f no sea continua en [a,b] y tenga un número finito de discontinuidades donde todas son de salto, entonces f es continua por tramos o secciones y por lo tanto la integral existe.

Teorema del Valor Medio para Integrales

Gráfico:

• Eje y: f(c)
• Eje x: a, c, b
• Rectángulo con función y=f(x) que lo cruza.
• Al costado: ∫_a^bf(x)dx=A, c∈[a,b] tal que: Área del rectángulo de base (b-a) y altura f(c) = área bajo f = A.

Queda: (b-a)f(c)=∫_a^bf(x)dx → F(c)=(1/(b-a))∫_a^bf(x)dx

Teorema del Valor Medio para Derivadas

f:D⊂ℝ→ℝ, continua y derivable en [a,b]⊂D.

Gráfico:

• Eje y: f(a), f(c), f(b)
• Eje x: a, c, b
• Dos rectas, secante y tangente, entre medio un arco y=f(x), P₀, P₁.

Teorema Fundamental del Cálculo (Primera Parte)

Sea f:D⊂ℝ→ℝ.

Gráfico:

• Eje y: f(c), f(x)
• Eje x: a, x, c, x+h, b
• Rectángulo con función y=f(t) cruzando solo arriba un poquito.
• De a hasta x es el área A=g(x).

Sea una f continua en [a,b], existe una función g continua en [a,b] y diferenciable en ]a,b[ tal que g(x)=∫_a^xf(t)dt para a≤x≤b y se cumple que g'(x)=f(x).

Demostración:

x, x+h ∈ [a,b], abajo: g(x+h)=∫_a^x+hf(t)dt=∫_a^xf(t)dt+∫_x^x+hf(x)dt, abajo: g(x+h)-g(x)= ∫_x^x+hf(t)dt, porque se simplifican los otros dos, abajo: como h>0: g(x+h)-g(x)/h=(1/h)∫_x^x+hf(t)dt, abajo: lim_(h→0) g(x+h)-g(x)/h=lim_(h→0)F(c), abajo: g'(x)=f(x).

Teorema Fundamental del Cálculo (Segunda Parte)

∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Demostración:

Teniendo en cuenta la primera parte g(x)=∫_a^xf(t)dt: entonces g es una primitiva de f. Sabiendo que: F(b)=g(b)+c → g(b)=∫_a^bf(t)dt, F(a)=g(a)+c → ∫_a^af(t)dt=0. Entonces: F(b)-F(a)=g(b)+c-[g(a)+c]= g(b)+c-g(a)-c=g(b)=∫_a^bf(t)dt → ∫_a^bf(t)dt= F(b)-F(a).

Método de Sustitución

Este método se usa cuando el integrando es el producto entre una composición entre 2 funciones y la derivada de la segunda función.

∫(f∘g)(x)g'(x)dx=∫(f∘z)dz=∫f(z)dz=F(z)+c=F(g(x))+c. Abajo: z=g(x), dz=g'(x)dx

Integración por Partes

Este método se usa generalmente cuando el integrando es un producto entre 2 funciones de distinto tipo. Si esas funciones son f y g, entonces la derivada del producto entre ambas, vendrá dada por: [d(f(x)g(x))]/dx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), abajo: d[f(x)g(x)]=[f'(x)g(x)]dx+[f(x)g'(x)]dx, abajo: ∫ d[f(x)g(x)]=∫([f'(x)g(x)]dx+[f(x)g'(x)]dx), abajo:∫ d[f(x)g(x)]=∫[f'(x)g(x)]dx+∫[f(x)g'(x)]dx. Si hacemos: u=f(x)→du=f'(x)dx, v=g(x)→dv=g'(x)dx. Abajo: ∫ d[uv]= ∫ vdu + ∫ udv → uv=∫ vdu + ∫ udv → ∫ udv= uv – ∫ vdu.

Integración de Funciones Racionales

f(x)=P(x)/Q(x), grado de Q≥1. Si el grado de P≥ grado de Q → f es una función racional impropia. Para poder integrar f se deben dividir los polinomios, de manera que: P(x)=C(x)Q(x) +R(x) → f(x)=P(x)/Q(x)= [C(x)Q(x) +R(x)]/Q(x)= C(x)+R(x)/Q(x) con grado R < grado Q. Por lo tanto R(x)/Q(x) será una función racional propia. Integrando todo queda: ∫ C(x)dx + ∫ R(x)/Q(x)dx. Si f es una racional propia ocurre: P(x)=kQ'(x), z=Q(x)→dz=Q'(x)dx. Abajo: ∫ f(x)dx= ∫ P(x)/Q(x)dx= ∫ k[Q'(x)/Q(x)]dx=k ∫dz/z=k ln|z|+c=kln|Q(x)|+c

Descomposición en Fracciones Simples

Primer Caso

Ocurre cuando el denominador tiene raíces reales y distintas, por lo tanto, se puede descomponer la fracción en una suma finita de elementos de primera especie donde n=1. Ejemplo: si Q posee k raíces reales distintas: Q(x)=(x-r₁),(x-r₂),..,(x-r_k) → P(x)/Q(x)=A₁/(x-r₁)+A₂/(x-r₂)+..+A_k/(x-r_k), es decir vamos a tener k fracciones de primera especie que al integrar quedará la integral de cada miembro, siendo A un número que después se multiplica por ln|x-r_1,2,k|+c.

Segundo Caso

Ocurre cuando el denominador tiene raíces reales repetidas de multiplicidad > 1, también se podrá descomponer en elementos de primera especie. Ejemplo: Q tiene una raíz real de multiplicidad k, entonces: P(x)/Q(x)=P(x)/(x-r)^k =A₁/(x-r)+A₂/(x-r)²+..+A_k/(x-r)^k.

Tercer Caso

Ocurre cuando el polinomio denominador tiene raíces reales complejas y distintas, por lo tanto, la fracción se podrá descomponer en una suma finita de elementos de segunda especie. Ejemplo: si Q posee 4 raíces complejas y distintas, Q(x)=(x²+b₁x+C₁)(x²+b₂x+C₂), f(x)=P(x)/Q(x)= P(x)/(x²+b₁x+C₁)(x²+b₂x+C₂)=(a₁x+b₁)/(x²+b₁x+C₁)+(a₂x+b₂)/(x²+b₂x+C₂).

Cuarto Caso

Ocurre cuando el denominador tiene raíces complejas y repetidas. Ejemplo: Q tiene 2 raíces complejas y repetidas: Q(x)=(x²+bx+c)², f(x)=P(x)/Q(x)=P(x)/(x²+bx+c)²=A/(x²+bx+c)+B/(x²+bx+c)²

Derivada

Gráfico: Si consideramos una curva en R³, la cual se forma teniendo en cuenta el conjunto de todos los puntos extremos de los vectores del conjunto imagen: 3 planos, vector posición en t₀ r(t₀), su derivada r'(t₀), r(t₀+h), curva C, un vector P₀P, y al costado ponemos OP₀+P₀P=OP, r(t₀)+P₀P=r(t₀+h), P₀P=r(t₀+h)-r(t₀). Si h>0: r(t₀+h)-r(t₀)/h. Hallando el límite cuando h tiende a cero, r'(t₀): r(t₀+h)-r(t₀)/h (vector tangente).

Longitud de Arco de Curva

f:D⊂ℝ→ℝ, x→y=f(x) con (a,b)⊂D, tenemos L=∫_a^b√(1+(f'(x))²)dx, que es igual a ∫_a^b√(1+(dy/dx)²)dx, tenemos: x=f(t) – dx=f'(t)dt. y=g(t) – dy=g'(t)dt, con x=a→t=α, x=b→t=β. Reemplazo todo y opero. Al final queda L=∫_α^β||r'(t)||dt.

Curva Suave

En [a,b] si la función r que la define es continua en todo ese intervalo y no existe ningún valor t₀ donde r'(t₀)=0, excepto tal vez en los extremos. Cualquier intervalo que contenga al cero, la curva no es suave.

Función Longitud de Arco

r:D⊂ℝ→ℝⁿ, t→r(t)=(f₁,f₂,f_n), con I=[a,b]⊂D. Al costado: L= ∫_a^b||r'(t)||dt. Abajo: S(t)=∫_a^t||r'(u)||du. De tal manera por el TFC: ds/dt=||r'(t)||.

Gráfico: 3 planos, r(a),P₁, r(t),P,r(b),P₁, S(t), y curva C.

Curvatura

La curvatura de una curva que representa a una función vectorial es una medida de cuán rápido cambia la dirección de la curva en un punto. La dirección de una curva la define el vector tangente unitario. K=||dT/ds||.

Gráfico: 3 planos, curva C (forma de S pronunciada), r(t₀),r(t₁),r(t₂),r(t₃),P₀,P₁,P₂,P₃, tangente de cada vector.

Funciones Reales de Variable Vectorial

f:D⊂ℝⁿ→ℝ, x→f(x). Si n=2 tenemos: f: D⊂ℝ²→ℝ, x=f(x,y)→z=f(x,y). Estos vectores representan a un vector en el espacio (R³). Primero se halla el dominio sabiendo las condiciones. Dependiendo de lo que da, el gráfico puede ser un paraboloide circular (tarro, x²+y²=x).

Curvas de Nivel

Las curvas de nivel de una función f(x,y), son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=k, donde”” es una constante en el rango f(x,y). L={(x,y)∈ℝ²/f(x,y)=k}. Sirve para tener una idea de cómo es la superficie de la curva en una región.

Derivadas Parciales

f:D⊂ℝ²→ℝ , (x,y)→z=f(x,y). En un punto (x,y) ∈ n: ∂f/∂x(x₀,y₀)=lim_(h→0) f(x₀+h,y₀)-f(x₀,y₀)/h. Lo mismo con Y.

Gráfico: Quesito, a,b, 1^ra solapa tiene vector hasta el fondo con α, 2^da solapa tiene vector hasta adentro de quesito con β.

Funciones Homogéneas

f:D⊂ℝ²→ℝ , (x,y)→z=f(x,y). f es homogénea de grado n si: f(λx,λy)=λⁿf(x,y), con n>0.

Teorema de Euler

f:D⊂ℝ²→ℝ, si f es homogénea de grado n: x.∂f/∂x + y.∂f/∂y=n.f(x,y).

Teorema de Clairaut o Teorema de Schwarz

Si f tiene derivadas segundas continuas en (x₀,y₀) ∈ D, entonces se cumple: ∂²f/∂x∂y(x₀,y₀)=∂²f/∂y∂x(x₀,y₀).

Diferenciabilidad

f:D⊂ℝ²→ℝ, (x,y)→z=f(x₀,y₀), f es diferenciable en un punto (x₀,y₀) ∈ D, si existe una función vectorial E((x₀,y₀),h) definida en un entorno del origen, tal que: f((x₀,y₀)+(h₁,h₂)) = f(x₀,y₀)+ ∇f(x₀,y₀)(h₁,h₂)+E((x₀,y₀),(h₁,h₂))(h₁,h₂)). Abajo: f(x₀+h₁,y₀+h₂)= f(x₀,y₀)+(∂f/∂x,∂f/∂y)(h₁,h₂)+(E₁,E₂)(h₁,h₂) Abajo: f(x₀+h₁,y₀+h₂)= f(x₀,y₀)+∂f/∂xh₁+∂f/∂yh₂+E₁h₁+E₂h₂. Abajo: con lim E[(x₀,y₀),(h₁,h₂)]=(0,0)

Regla de la Cadena (Derivada de la Composición de Funciones)

r:D⊂ℝ→ℝ², t→r(t)=(x,y), abajo: f:ℝ²→ℝ, (x,y)→z=f(x,y), abajo: f∘r:D⊂ℝ→ℝ, t→z=f[r(t)], abajo: dz/dt=∂f/∂x.dx/dt+∂f/∂y.dy/dt.

Demostración:

Sabemos que una función f:ℝ²→ℝ es diferenciable en (x,y)∈ℝ² si: f(x₀+h₁,y₀+h₂)= f(x₀,y₀)+∇f.h+E(h)h. Abajo: f(x₀+h₁,y₀+h₂)-f(x₀,y₀)= ∂f/∂xh₁+∂f/∂yh₂+E₁h₁+E₂h₂. Si h₁=Δx y h₂=Δy, abajo: Δz=∂f/∂x.Δx + ∂f/∂y.Δy+E₁Δx+E₂Δy, abajo: al Δz dividido por Δt, al Δx y Δy también. Abajo: lim_(Δt→0) Δz/Δt=lim_(Δt→0)[∂f/∂x.Δx/Δt+∂f/∂y.Δy/Δt+E₁.Δx/Δt+E₂.Δy/Δt], abajo: distribuyo el lim, pero en E₁ y E₂ es igual a cero, queda: dz/dt=∂f/∂x.dx/dt+∂f/∂y.dy/dt.

Derivada Direccional

f:D⊂ℝ²→ℝ, (x,y)→z=f(x,y), con (x₀,y₀)∈D y vector u=(u₁,u₂) tal que ||u||=1, abajo: D_uf(x₀,y₀)= lim_(h→0) f(x₀+hu₁,y₀+hu₂)-f(x₀,y₀)/h, al costado del gráfico: f(x₀+h.u)=f(x₀,y₀)+h(u₁,u₂).

Gráfico: 3 planos, redondo, dentro un rectángulo que en su base hay un triángulo (lado izq hu₁, base hu₂, derecha vector u), se dibuja un semicírculo con un mini rectángulo dentro, con puntos (x₀,y₀,z₀) y (x,y,z) en la recta t arriba del semicírculo.

Variación de la Derivada Direccional

Teniendo en cuenta D_uf(x₀,y₀)=∇f(x₀,y₀).u=||∇f(x₀,y₀)||.||u||.cosθ=||∇f(x₀,y₀)||.cosθ, por lo tanto la derivada direccional depende del ángulo que forman el vector gradiente y el vector director. Si interpretamos gráficamente el producto escalar entre 2 vectores, dicho producto representará la proyección del primero sobre el segundo si este último es unitario (Gráfico: triángulo, arriba ∇f(x₀,y₀), abajo vector u, ángulo θ) -1≤cosθ≤1.

• Si cosθ=1→ max. D_uf(x₀,y₀)=||∇f(x₀,y₀)||, θ=0. El vector director es el gradiente. Gráfico: línea recta con vector u y gradiente misma dirección.
• Si cosθ=0→ D_uf(x₀,y₀)=0, la derivada direccional es nula cuando θ=π/2=90º (∇ es ⊥ vector u) Gráfico: ángulo recto entre gradiente y u.
• Si cosθ= -1→ Min. D_uf(x₀,y₀)= – ||∇f(x₀,y₀)|| Gráfico: línea pero – gradiente hacia la izquierda y u hacia derecha.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Ecuación que establece una relación entre la variable independiente (x) con la función buscada y= f(x) y sus derivadas (y’, y”,yⁿ) o sus diferenciales (dx,dy). Es decir: F(x,y,y’,y”,yⁿ)=0.

Clasificación:

1. Orden: es el orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
2. Tipo: se clasifican en ordinarias (contienen derivadas totales) o en derivadas parciales.
3. Grado: es el mayor exponente de la derivada superior.
4. Linealidad: lineales o no lineales.

Las ecuaciones diferenciales lineales de grado n (n∈ℕ) son de la forma: A_n(x)(dⁿy/dxⁿ)+A_n-1(x)(d^n-1y/dx^n-1)+A₂(x)(d²y/dx²)+A₁(x)(dy/dx)+A₀(x)y=g(x). Este tipo de ecuaciones diferenciales tienen 2 características importantes:

1. Todos los coeficientes son funciones solamente de la variable independiente.
2. Todas las derivadas y la función incógnita son de grado 1.

Solución de una EDO

Una función f definida en un intervalo I es solución de una EDO, si cuando se la sustituye por esta, se convierte en una identidad. Es decir, satisface F(x,f(x),f'(x),..,fⁿ(x))=0.

Variables Separables

Forma general: y’=f(x,y), será de variables separables si f(x,y)=g(x)h(y). Entonces: y’=f(x,y)=g(x)h(y) → dy/dx=g(x)h(y), se despeja eso por variables separables + c.

Ecuaciones Diferenciales Lineales

A₁(x)y’+A₀(x)y=g(x) EDO lineal de 1^er orden. Divido a todo por A₁(x) y queda la forma estándar. Factor de integración: ρ(x)= e^∫P(x)dx. Lo multiplico por todos los miembros, y con un C.A busco su derivada. Resuelvo despejando y al final.

Problema del Valor Inicial

Al aplicar EDO, generalmente no se está buscando una familia de soluciones (solución general), sino que se busca una solución que satisfaga algún requerimiento adicional. En muchos problemas se requiere una solución particular que satisface la forma y(x₀)=y₀. Esta se llama condición inicial, y el problema de hallar una solución de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial se llama problema del valor inicial.

Ecuación de Bernoulli

Forma general: y’+P(x)y=Q(x)yⁿ. Con n distinto de cero y 1. Estas se transforman en EDO lineal mediante un cambio de variables: Divido a todo por yⁿ, y después saco z y su derivada. Queda: z’+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x). Resolución: ρ=ρ(x). (y’+P(x)y)ρ=Q(x)ρ (1). En un C.A saco (y.ρ)’, dándome como resultado el factor de integración, que después en (1) reemplazo y queda d(y.ρ)/dx=Q(x)ρ, y ahí es como siempre.

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

La EDO y’=f(x,y) es homogénea si f es una función homogénea de grado cero. Si se presenta de la siguiente forma: M(x,y)+N(x,y)=0. Entonces, será homogénea en el caso que N y M sean funciones del mismo grado. Resolución: y’=f(x,y). Si f es homogénea de grado cero se cumple: f(x,y)=f(λx,λy). Si hacemos: λ= 1/x, reemplazo en f(x,y), por lo tanto la f depende del cociente entre las variables. Si hacemos: u=y/x, despejo y derivo “y”, reemplazo en la EDO: u’x+u=f(1,u), EDO de variables separables.