SOLUCIONES PARCIAL 1: ÁLGEBRA 22350

24-11-11

P1.- Sea W = {(x, y, z )ÎR3 / x + y + z = 0} un subespacio vectorial de R3

a) Dado el vector v = (2,1, x)ÎR3 ¿qué debe valer x para que v pertenezca a W ? 0,2 p

Se ha de cumplir la condición del subespacio: suma de coordenadas igual a 0.

v = (2,1, x)ÎW si y solo si 2 +1+ x = 0 -> x = -3

b) Dar una base de W y su dimensión.

Base: conjunto generador y L.I. 0,15 p
Vector genérico: (x, y,-x – y)
Cálculo sistema generador: (x, y,-x – y) = (x,0,-x) + (0, y,-y) = x (1,0,-1) + y (0,1,-1)
Las combinaciones lineales de (1,0,-1) y (0,1,-1) generan cualquier vector del subespacio.
Además son vectores L.I. por no ser proporcionales.
Una base de W : {(1,0, -1), (0,1, -1)} 0,4 p
Dimensión de W : 2 por ser el número de vectores que tiene cualquier base del subespacio. 0,15 p

c) Hallar las coordenadas de v respecto de la base calculada en el apartado anterior.

Expresamos v como combinación lineal de {(1,0, -1), (0,1, -1)}
Hallamos alfa y beta y lo expresamos como combinación lineal.

d) Dada la base B = {(1,1,0), (0,-1,1), (2,0,1)} define y calcula la matriz de cambio de base de la base
canónica de R3 a la base B .

Matriz P de cambio de base de Bc a B es la que tiene por columnas las coordenadas de los
vectores de la base Bc en la base B : Bc = B P 0.3 p
Es más sencillo calcular la matriz de cambio de base de B a Bc :
Sus columnas son las coordenadas de las vectores de la base B en base canónica Bc

Hacemos la matriz con los 3 vectores, y hacemos su inversa, primero hayando su adjunta y su traspuesta, para después dividirlo entre el determinante de la matriz original.

e) Utilizando dicha matriz calcula (deduciendo la expresión) las coordenadas de v en la base B .

Multiplicamos la matriz hallada por el vector v

f) Define proyección ortogonal de un vector m sobre otro n y deduce su expresión. 0.4 p

Descomponiendo el vector m como suma de tn en la dirección de n , y m– tn ortogonal a n la componente tn se llama proyección ortogonal de m sobre n
Por construcción m– tn es perpendicular a n .
(m-tn)n= mn-tnn = 0

t = (mn/nn)n

Proyección ortogonal de m sobre n: m=(mn/nn)n

Halla la proyección ortogonal del vector u = (-3,0,1) sobre el subespacio.
La proyección ortogonal de u = (-3,0,1) sobre el subespacio es la suma de las proyecciones
ortogonales sobre cada uno de los vectores de una base ortogonal del subespacio: 0.3 p
Ortogonalizamos la base {(1,0, -1), (0,1, -1)}
u1= (1,0,-1)

u2= (0,1,-1) -tu1                 [(0,1,-1)-tu1))(1,0,-1)=0    t= 1/2

Despejamos u2: (-1/2,1,1/2)

Cálculo de la proyección ortogonal de u = (-3,0,1) sobre cada vector de la base:
Sobre (1,0,–1) : (((-3,0,1)(1,0,-1))/((1,0,-1)(1,0,-1)))(1,0,-1) = (-2,0,2)

Lo mismo sobre u2, que da como resultado = 2/3(-1/2, 1, 1/2)
Proyección ortogonal de u sobre el subespacio: sumas los dos vectores hallados y el resultado es la respuesta.

P2.- Sea la aplicación lineal f : R3 ¾¾®R2 y sea la base B = {(1,-1),(-1,2)} de R2 (x, y, z)¾¾®(x – y, y + z)

a) Define y halla la matriz asociada a f en las bases canónicas de R3 y R2 .

Llamando { e1 e2 e3 } , Bc = a la base canónica de R3 la matriz de f respecto de las bases canónicas es aquella cuyas columnas son las coordenadas de los vectores ( f (e1) , f (e2) , f (e3) ) en la base canónica de R2.

f(1,0,0)= (1-0,0+0)= (1,0)

Lo mismo para los otros f, y ahora hacemos una matriz con los 3 vectores hallados.

b) Define y halla la matriz asociada a f respecto a las bases canónica de R3 y B .

La matriz de f asociada a las bases canónica de R3 y B es aquella cuyas columnas son las coordenadas de los vectores ( f (e1) , f (e2) , f (e3) ) en la base B de R2.

Con la base que tenemos, formamos una matriz y hallamos su inversa, dicha inversa la multiplicamos por los 3 f hallados en el ejercicio anterior y formamos una matriz con los 3 vectores hallados.

Utilizando esta matriz calcula las coordenadas de la imagen del vector (1,-1,3) en base B .

Multiplicamos la matriz hallada por el vector que nos dan.

Define y obtén los subespacios Ker e Imagen de esta aplicación lineal.

Tenemos que (x-y,y+z), igualamos ambas expresiones a 0 y las expresamos en función de y, y sacamos una base sacando factor común y del vector hallado.

Imagen de f : Conjunto formado por los elementos de R2 que tienen anti-imagen:

Vector genérico del conjunto imagen: (x – y, y + z)
(x – y, y + z ) = (x,0) + (–y, y) + (0, z ) = x (1,0) + y (-1,1) + z (0,1)
Los vectores (1,0),(-1,1), (0,1) generan el conjunto Im( f ) pero no son L.I. por ser 3 vectores de R2

Cualquier subconjunto de dos de estos vectores es L.I. por ser los vectores NO proporcionales.
Por ejemplo: {(1,0), (0,1)}
En este caso el conjunto Im( f ) coincide con todo el espacio R2

P3.-

a) ¿Qué es diagonalizar una matriz? Define vector propio de una matriz, deduce la forma de obtenerlos. ¿Cómo intervienen en el proceso de diagonalización?.

Diagonalizar una matriz cuadrada A es encontrar, si es posible, una matriz diagonal D semejante a A , es decir que cumpla D = Q-1·A·Q siendo Q una matriz regular. 0.25 p

Define autovalor y autovector

Un autovector de A es todo vector no nulo del espacio vectorial de las columnas de la matriz A , que
cumple A ·x = λx siendo λ ∈ R
Al escalar λ se le llama autovalor del autovector x
¿Cómo se obtienen?
A partir de la ecuación vectorial (definición de vector propio) A ·x = λ·x
Manipulando dicha ecuación: Ax- λx= 0 -> (A-λI)x=0
llegamos a un sistema homogéneo cuyas soluciones serán los vectores propios. Pero antes de resolverlo aplicamos la condición: un vector propio no puede ser 0
Por ello el sistema homogéneo ha de tener soluciones distintas del vector 0 –ha de ser Indeterminado. Entonces se ha de cumplir R(A)< ni (rango menor que nº de incógnitas)
Si A– λI ≠ 0 -> A R es máximo por tanto A R = ni y el sistema es determinado con solución única nula.
Si A– λI = 0 -> A R NO es máximo por tanto A R <ni y el sistema es indeterminado con infinitas soluciones
Resolviendo la ecuación A– λI = 0 se obtienen los valores propios. Para cada valor propio i λ se resuelve el sistema ( (A– λi I) ·x = 0 ) con lo que obtenemos el subespacio de vectores propios asociados a ese valor propio. y cómo intervienen en el proceso de diagonalización. Si es posible obtener una base del espacio vectorial formada por vectores propios de la matriz A , la matriz regular Q de la expresión D = Q-1·A·Q tiene como columnas los vectores propios que forman la base calculada y los autovalores son los elementos diagonales de la matriz diagonal D.

b) Estudiar si la matriz x es o no diagonalizable y por qué.
c) ¿Qué condición ha de cumplir una matriz para ser ortogonalmente diagonalizable? 0.2

Para que matriz sea ortogonalmente diagonalizable ha de ser simétrica

¿y qué características tiene este tipo de diagonalización? 0.4p

En este caso la base de vectores propios es ortogonal y sus normas son 1.
La matriz de vectores propios es ortogonal es decir que su inversa es igual a su traspuesta.


1.- Dado un espacio vectorial V y un subconjunto E de V ¿qué condiciones ha de cumplir E para ser subespacio vectorial de V ? 0,5 p

Las operaciones suma de vectores y producto de escalar por vector definidas en el espacio V deben cumplir en el conjunto E las siguientes condiciones:
i) la suma de dos elementos de E es otro elemento de E: ∀x ,y ∈ E , x +y ∈ E
ii) el producto de un escalar por un elemento de E es otro elemento de E: ∀ x∈ E y ∀α ∈ R αx ∈E

a) Encontrar una base del sub-espacio E de R4 generado por estos 4 vectores:…

Llamemos P al conjunto {v1, v2, v3, v4}
Base: conjunto generador y L.I. 0,2 p
Llamemos P al conjunto {v1, v2, v3, v4} . P es un conjunto generador del subespacio E.
Rango de un conjunto de vectores: nº máximo de vectores L.I. que puedo extraer del conjunto 0,25 p
Si calculo el rango de P sabré el nº máximo de vectores L.I. que puedo extraer de P y con ello podré obtener una base de E. Si el rango es 4, los 4 vectores serán L.I. y formarían base de E. Al ser los vectores de R4 el subespacio E sería R4. Si el rango es menor que 4, los 4 vectores serán L.D.

Cálculo del rango por Gauss: nº de filas no nulas de una matriz escalonada equivalente. 0,25 p
Coloco los vectores como filas de una matriz y la escalonamos: nos da dos filas no nulas, por lo tanto rango 2. Estos cuatro vectores son L.D. Una base de E estará formada por cualquier subconjunto, con 2 vectores de P, que sea L.I. Hay muchas posibilidades. v1 y v3, v2 y v4…

En este caso cualquier subconjunto de P formado por dos vectores sería una base de E ya que todos los subconjuntos son L.I. porque todos los vectores tomados de 2 en 2 son NO paralelos. 2 En general podremos afirmar con seguridad que aquellos vectores fila de la matriz original que dan lugar a las filas no nulas de la matriz escalonada son L.I.


b) Dado el vector x = (2, 1,4, -1) estudiar si pertenece o no al subespacio E.

Tenemos que hacer una combinación lineal con una de las bases halladas y este vector, si al recuperar el sistema vemos que es incompatible por una contradicción, el vector x no pertenece al subespacio.

c) Dada A = … encuentra una matriz X cuadrada de orden 2 y simétrica tal que AX=0.

Solo hay que multiplicar la matriz que nos dan por una igual con valores a,b,c,d, igualar y darle valores a dos incógnitas para hallar las otras 2.

Expresar la matriz como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Se utiliza la fórmula: P=1/2(A+At)+1/2(A-At)

Fórmulas:
  • Longitud dos vectores: B-A
  • Módulo: componentes al cuadrado y raíz cuadrada
  • Vector equivalente: mismas componentes.
  • Ángulo, dirección y sentido: dirección y sentido mediante representación, ángulo mediante la fórmula tan alfa= b/a
  • Vector unitario: vector entre su norma
  • Ángulo dos vectores: Cos alfa= (u*v)/(|u|*|v|)
  • Ortogonales: u*v=0
  • Proyección: u sobre v: hallamos vector unitario de v, es decir, hallamos su módulo y lo dividimos por él. Luego hallamos la norma de la proyección con esta fórmula: (u*v)/|v|. Ahora multiplicamos las dos cosas que hemos hallado y el vector que nos queda es el resultado.
  • Dependencia lineal de dos o 3 vectores: si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
  • Rango: Gauss y las filas no nulas es el rango.
  • Sistema generador: los vectores que tenemos los igualamos a uno cualquiera (a,b) = x(..)+y(..)+z(..), igualamos y hacemos Gauss, si el sistema que queda tiene infinitas soluciones generan el espacio, si solo admite la solución trivial también, es decir tienen que ser L.I
  • Bases: si tenemos dos bases y nos piden calcular un vector en esa base, solo tenemos que montar una matriz ampliada con el vector y la base y triangularizar, el resultado es el escalar por el que hay que multiplicar los componentes de la base e igualarlos al vector.
  • Base ortogonal: nos dan vectores y les ponemos un escalar, los sumamos e igualamos a 0, despejamos los escalares y si la solución es 0, son L.I, una vez hecho esto aplicamos la siguiente fórmula para hallar la base:

c1=u1

c2=u2-((c1*u2)/(c1*c1))c1

c3= u3-((c1*u3)/(c1*c1))c1 – ((c2*u3)/(c2*c2))c2

Bases y vector: hacer una matriz con la expresion de Bu en Bv, y multiplicamos la matriz por el vector, para hallar su expresion en Bu. Otra forma es igualar ambas expresiones y sustituir v por u

Inversa: matriz adjunta y luego su traspuesta, finalmente la dividimos por el módulo de la original

Discusion sistema: Ra=Rb=compatible determinado, Raºincognitas,>

Cramer: en un sistema compatible y determinado, x= determinante matriz dividida entre su modulo y sustituyendo la columna de las x por la columna resultado.