Simplex

1. Estimación de Cantidades Óptimas a Producir (Función de Oferta)

Un productor con tres productos busca estimar las cantidades óptimas a producir para uno de ellos, que contribuye en más del 70% a la facturación, en función de cada precio posible del mercado. Para ello, se asume que posee los datos de la tecnoestructura, las restricciones de recursos y los precios de los tres productos para un período dado.

Para estimar las cantidades óptimas a producir de ese producto (Función de Oferta del productor), se puede utilizar el método Simplex. Este método permite encontrar la solución óptima a un problema de programación lineal, maximizando o minimizando una función objetivo sujeta a restricciones.

2. Casos Particulares en el Algoritmo Simplex

¿Qué casos particulares se detectan en el algoritmo de la Tabla Simplex (TL) y en qué etapa, que aseguran la optimización del proceso de cambio de base?

Se pueden detectar diversos casos especiales durante la aplicación del método Simplex, como soluciones degeneradas, soluciones no acotadas, y óptimos alternativos. Estos casos se identifican en las diferentes etapas del algoritmo y requieren consideraciones especiales para asegurar la convergencia a la solución óptima.

3. Expresión de la Transformación Lineal en el Método Simplex

¿Cuál es la expresión que define la transformación lineal en el Simplex?

Se define un funcional Z que se debe maximizar si su resultado es un beneficio o minimizar si es un costo. Este funcional depende de los coeficientes de eficiencia Ci (costo o beneficio unitario) y de los productos Xi, quedando definido como:

Z = Σ (Ci * Xi)

Como los recursos son escasos y limitados, este funcional estará sujeto a ciertas restricciones:

A.X ≤ B

Donde A es una matriz de coeficientes tecnológicos y B representa las condiciones de vínculo. También se deben considerar las condiciones de no negatividad: X ≥ 0. Con estas restricciones, se aplica el método Simplex para hallar la asignación correcta de recursos para un funcional de máximo o mínimo. La ecuación en el método Simplex obedece a:

Z1 = Z0 – q (Zj – Cj)

4. Significado de Zj – Cj > 0 en la Tabla Óptima del Simplex

Si en un problema primal los coeficientes de eficiencia son los costos unitarios, ¿qué significado tiene un Zj – Cj > 0 en la tabla óptima cuando X6 es un nuevo producto? ¿Cómo se refleja en el Dual?

Si la ecuación de transformación lineal del Simplex responde a ΔZ = – qij (Zj – Cj), cuando (Zj – Cj) es positivo, el funcional disminuye. Por lo tanto, si Z = Σ (Ci * Xi) y los Ci son los coeficientes de eficiencia (en este caso, costos), estamos frente a un caso de búsqueda de Z mínimo. Al agregar el producto X6, se puede mejorar el funcional y, con esto, la asignación de recursos. En la tabla óptima primal, aparecerá el Zj – Cj de este producto con signo positivo, lo que indica que se puede introducir en la base para mejorar la tabla.

Colas y Cadenas de Markov

5. Matriz de Intensidad en un Proceso Poissoniano

Explique el significado de la Matriz de Intensidad en un proceso poissoniano de arribos y despachos de un sistema de tres canales en paralelo de igual velocidad de despacho. Defina proceso de nacimiento y muerte.

La matriz de intensidad de un proceso poissoniano permite obtener las probabilidades del régimen permanente.

Proceso de nacimiento y muerte:

  • λi para todo i = j – 1 (nacimiento)
  • dij = μi para todo i = j + 1 (muerte)
  • 0 para todo i, j / | j – i | ≥ 2

El tamaño de la población solo puede aumentar en uno, disminuir en uno o permanecer igual.

6. Tiempo Promedio de un Cliente en un Sistema Monocanal

¿Cuánto tiempo deberá emplear en promedio un cliente en un sistema monocanal con factor de tráfico r = 0.6 y tasa media de llegadas/hora = 8 clientes/hora? Población infinita, sin impaciencia.

Lc = r2 / (1 – r) = 0.9

L = Lc + r = 0.9 + 0.6 = 1.5

W = L / λ = 1.5 / 8 = 0.1875 h

Existe impaciencia si: λi ≠ λ, para todo i (λ depende del estado del sistema).

7. Ecuación de Chapman-Kolmogorov Generalizada

¿Qué plantea la ecuación de Chapman-Kolmogorov generalizada?

La ecuación de Chapman-Kolmogorov generalizada describe la evolución de las probabilidades de transición en un proceso de Markov en tiempo continuo. Permite calcular la probabilidad de estar en un estado en un tiempo futuro, dado el estado actual y las probabilidades de transición entre estados.

8. Condición para un Proceso Markoviano Estacionario

¿Cuál es la condición para que un proceso Markoviano sea estacionario?

Para que un proceso markoviano se encuentre en régimen permanente o estado estacionario, debe transcurrir un período relativamente largo de tiempo, luego del cual la cadena entra en una condición de equilibrio estocástico. Esto significa que sus probabilidades de estado son estables en el tiempo.

9. Proceso Ergódico

¿Qué es un proceso ergódico?

Un proceso es ergódico cuando todos los estados son comunicados y accesibles entre sí.

10. Determinación del Estado Estacionario en una Cadena de Markov

Si una cadena de Markov es estacionaria, ¿cómo puede determinar su estado estacionario?

Se debe corroborar que, luego de n transiciones del sistema, sus probabilidades de estado se mantengan constantes en el tiempo, es decir, que se encuentre en equilibrio estocástico.

Gestión de Stocks

11. Variación del Costo Total Esperado (CTE) Anual

Analice gráfica o analíticamente cómo varía el Costo Total Esperado (CTE) anual con el incremento de: a) C1 (costo de pedido) b) b (costo de almacenamiento). Defina claramente los supuestos del modelo que analiza.

El análisis del CTE involucra la consideración de varios factores, incluyendo el costo de pedido (C1) y el costo de almacenamiento (b). Un aumento en C1 generalmente lleva a un aumento en el CTE, mientras que un aumento en b también incrementa el CTE. Los supuestos del modelo deben ser claramente definidos, como demanda constante, tiempo de entrega conocido, etc.

12. Cambio en la Función de Costo Total de Inventario

¿Cómo cambia la función de costo total de inventario si cambia el costo del pedido?

Si el costo del pedido cambia, la función de costo total de inventario se verá afectada. Un aumento en el costo del pedido incrementará el costo total, mientras que una disminución lo reducirá. Esto se debe a que el costo del pedido es un componente directo del costo total de inventario.

Simulación

13. Simulación de un Proceso de Servicio de Diagnósticos de Alta Complejidad Médica

¿Qué modelo usaría y cómo simularía un proceso de servicio de diagnósticos de alta complejidad médica? (Ej. diagnóstico por imagen)

Para simular un proceso de servicio de diagnósticos de alta complejidad médica, se podría utilizar un modelo de simulación de eventos discretos. Este modelo permitiría representar las diferentes etapas del proceso, como la llegada de pacientes, la realización de estudios, el análisis de resultados y la entrega de diagnósticos. Se deberían definir variables como el tiempo entre llegadas, el tiempo de cada estudio, la disponibilidad de recursos, etc.

14. Simulación de un Proceso de Llegadas a una Cafetería

¿Cómo simularía un proceso de llegadas a una cafetería?

Para simular el proceso de llegadas a una cafetería, se puede utilizar un modelo de simulación de eventos discretos o un proceso de Poisson. Se deben definir variables como la tasa media de llegadas de clientes, el tiempo de servicio, la capacidad de la cafetería, etc. Se puede modificar el modelo para incluir variaciones en la tasa de llegadas según la hora del día o el día de la semana.

Camino Crítico

15. Márgenes de las Tareas y Camino Crítico de un Proyecto

Defina qué son los márgenes de las tareas y el camino crítico de un proyecto.

  • MT (Margen Total): Es la diferencia entre el máximo tiempo disponible para realizar la tarea y su duración.
  • ML (Margen Libre): Exceso de tiempo disponible sobre la duración de una tarea, suponiendo que todas las actividades comienzan tan pronto como sea posible.
  • MI (Margen Independiente): Es cuánto puede retrasarse el inicio de una tarea y su duración sin que se perturben las tareas que preceden y las que suceden (puede ser menor que cero).

Camino Crítico: Secuencia de actividades que determinan la duración mínima del proyecto. Las actividades en el camino crítico tienen un margen total igual a cero.

16. Tarea Ficticia

Una tarea ficticia, ¿es la que tiene costo nulo?

Una tarea ficticia es de costo nulo por no existir en la realidad. Se utiliza por razones de mantener un orden lógico en un dibujo de redes. Su duración es cero y se usa cuando:

  1. Dos actividades tienen el mismo predecesor y sucesor.
  2. Hay dos actividades con predecesores comunes y predecesores distintos.
  3. Hay dos actividades con sucesor común y sucesores distintos.

17. Suceso y Tarea Crítica

Defina suceso y tarea crítica de un suceso.

Un suceso es un instante de tiempo definido que marca un estado en la ejecución del trabajo total. Indica la finalización de una o varias actividades y la posibilidad de comienzo de la o las siguientes (para todos los sucesos del grafo excepto para el primero y para el último).

Una actividad crítica se encuentra siempre entre dos sucesos críticos y además se debe verificar que su margen total (MT) sea igual a cero: para la actividad crítica que comience en el suceso i y termine en el j, será MTij = FTj – Fti – dij.

18. Consideraciones de un Inversor Adverso al Riesgo en el Flujo de Fondos de un Proyecto

¿Qué tendría en cuenta un inversor adverso al riesgo en el Flujo de Fondos de un proyecto?

Un inversor adverso al riesgo buscaría que el periodo de repago simple sea lo más corto posible y utilizaría una tasa de descuento lo suficientemente alta como para que el umbral de aprobación del proyecto sea más alto (VAN ≥ 0).

19. Diagrama de Calendario para Subcontratación de Tareas

Suponga que Ud. subcontrata las tareas de un proyecto. ¿Qué tipo de diagrama de calendario utilizaría desde el punto de vista financiero?

Convendría guiarse por el diagrama de calendario de fecha tardía. Al ser contratista, conviene pagar lo más tarde posible, siempre jugando con los márgenes para cumplir con la caja mínima.

Definimos entonces:

  • Fecha tardía: Tiempo más lejano en que podría ocurrir un evento sin retrasar la terminación del proyecto.
  • Fecha temprana: Tiempo más próximo en que puede ocurrir un evento basándose en la terminación de todas las actividades predecesoras.

Matriz Insumo-Producto

20. Cálculo del Vector de Producción

¿Cómo se calcula el vector de producción dadas las demandas exógenas (Matriz insumo-producto)?

El vector de producción se calcula a partir de la matriz de coeficientes técnicos y el vector de demandas finales. La ecuación fundamental es X = (I – A)-1 * F, donde X es el vector de producción, A es la matriz de coeficientes técnicos, I es la matriz identidad y F es el vector de demandas finales.

21. Variables Exógenas y Endógenas en el Modelo de Leontief

¿Cuáles son las variables exógenas y endógenas en el modelo de Leontief?

En el modelo de Leontief, las variables exógenas son las demandas finales (F), que representan la demanda de bienes y servicios por parte de los consumidores, el gobierno y las exportaciones. Las variables endógenas son los niveles de producción de cada sector (X), que se determinan internamente en el modelo para satisfacer las demandas finales y las demandas intermedias de otros sectores.

General

22. Objetivo de la Investigación Operativa y Tipos de Sistemas Complejos Aplicables

¿Cuál es el objetivo de la Investigación Operativa? ¿A qué tipos de sistemas complejos es aplicable? Ejemplifique.

El objetivo de la Investigación Operativa (IO) es facilitar la toma de decisiones en situaciones problemáticas en sistemas complejos mediante una metodología sistémica, basada en métodos científicos. Estos métodos comprenden: analizar los fenómenos reales, postular hipótesis para construir el modelo, elaborar una ley de comportamiento y validar el modelo.

La IO es aplicable a una amplia variedad de sistemas complejos, como:

  • Planeamiento de proyectos de inversión.
  • Planes de comercialización.
  • Determinación de niveles de stock.
  • Planificación de transportes.
  • Diseño de sistemas de atención.