Líneas de Corriente

Una línea de corriente es una línea que, en un instante dado, es tangente al vector velocidad en cada punto. El flujo contenido en el interior del tubo de corriente está confinado, ya que no puede atravesar las líneas de corriente; las paredes del tubo de corriente pueden ser, por tanto, superficies sólidas o fluidas. Las líneas de corriente se calculan a partir del campo de velocidades por medio de las relaciones geométricas siguientes. Dado que la velocidad debe ser localmente tangente al elemento de línea dr, tendremos:

  • dx/u = dy/v = dz/w = dr/v

Si las componentes u, v, w son funciones conocidas de la posición del tiempo, las ecuaciones pueden ser integradas, obteniéndose así las líneas de corriente que en un cierto instante t0 pasan por el punto (x0, y0, z0). La integración puede resultar laboriosa. Una idea útil es introducir el parámetro ds en las ecuaciones. Así:

  • dx/ds = u1
  • dy/ds = v
  • dz/ds = w

Integrando las ecuaciones respecto a s con las condiciones iniciales adecuadas (x0, y0, z0) manteniendo el tiempo constante y eliminando posteriormente s se obtiene la expresión deseada, esto es, la línea de corriente.

Tuberías con Servicio en Ruta

Tubería con Servicio Alimentada por un Extremo

Supongamos la tubería 1-2, que suministra agua a lo largo de su recorrido, aparte de transportar un caudal Q2 al nudo 2. Aunque el reparto no será uniforme, parece lógico que así se considere a efectos de cálculo: El caudal Q a repartir se divide por la longitud L y así se obtiene el caudal unitario q:

  • q = Q/L = (Q1 – Q2)/L

Con esta hipótesis, el caudal que pasa por la sección M puede darse por la expresión Qm = Q2 + qx. La pérdida de carga en el recorrido infinitesimal dx es dHr = βdx(Q2 + q×x)2/D5. Integrando entre 0 y 1 considerando el valor medio (β’) de β obtenemos la pérdida de carga total:

  • Hr = β’/D5ʃoal(Q2 + q×x)2dx = β’×L×Q’2/D5

El caudal Q’ representa el caudal equivalente que originaría en la tubería 1-2 la misma pérdida de carga que el caudal variable del problema, y β’ es el coeficiente de fricción correspondiente, si determinamos pues Q’, la cuestión queda reducida al de una condición simple; es decir, que podemos calcular fácilmente el diámetro si conocemos la pérdida de carga. La expresión que permite calcular el caudal equivalente Q’ puede obtenerse de la anterior ecuación:

  • Q’ = (Q2 + q2×L2/3 + Q2×q×L)1/2

En caso particular que Q2 = 0, las ecuaciones anteriores adoptarían la forma (Q = q×L). Hr = 1/3β’LQ2/D5 = β’LQ’2/D5 y Q’ = Q/(3)1/2. Es decir, que la pérdida de carga que origina el caudal Q repartido total y uniformemente a los lardo del recorrido es la tercera parte de la que originaría dicho caudal si llegara íntegro hasta el final. Además, la LP de la figura sería horizontal al final, pues al no quedar caudal la pérdida de carga en 2 es nula. Normalmente se usa más la siguiente ecuación. Q’ = Q2 + 0,55qL.

Tubería con Servicio Alimentada por los Dos Extremos

Supongamos que la tubería con servicio está alimentada por los dos extremos; el caudal Q1 alimentaria un tramo L1 y el caudal Q2 el resto L2. Si el caudal unitario q es el mismo en ambos tramos 1 y 2, su valor sería:

  • q = (Q1 + Q2)/2

con lo que se determina las longitudes L1 y L2:

  • L1 = Q1/q
  • L2 = Q2/q

Las líneas piezométricas AO’ y BO’ son tangentes en O’ puesto que el caudal en la sección 0 es nulo por definición; además serían simétricas respecto de OO’, si el caudal unitario q fuera igual en todos los tramos. Utilizamos los caudales equivalentes. Q’1 = Q1/(3)1/2    Q’2 = Q2/(3)1/2. Las pérdidas de carga en los tramos 1 y 2, suponiendo el mismo diámetro D para los dos, serían:

  • Hr1 = β’×L1×Q1-2/D5
  • Hr2 = β’×L2×Q1-2/D5

Flujo Senoidal

Se define de forma matemática. El vector de velocidad en cada punto es el vector rotacional, cambiando el signo de otro campo vectorial [w].

  • [v] = -[pot]×w
  • siendo [v] = (x1, x2, x3, t)
  • y [w] = (x1, x2, x3, t)
  • nota rot[H] = [Ñ]×[H]

En un flujo senoidal se ha de cumplir que en cada punto tiene que haber definidos dos campos vectoriales:

  • -Campo de velocidades
  • -Campo w

Es decir, tienen que coexistir a la vez en la misma región del espacio. ‘dibujo’. Cuando haya un campo cuyo rotacional sea la velocidad cambiando el signo el flujo es senoidal. [Ñ] = -Pot[w]. Ell campo de vectores [w], si existe se llama potencial de la velocidad [V] se dice que deriva de [w].

Propiedades

Vamos a tomar divergencias en los dos miembros de la ecuación, es decir, aplicamos el operador naba en los dos miembros:

  • [Ñ]×[v] = [ Ñ](-rot[w]) è [Ñ][v] = -[v]([v][w])

Esto es un producto mixto (se ponen los tres en una matriz y se calcula el determinante) pero si es 0 porque hay dos filas iguales o dependientes Ñ[V]= Ñ(-Ñ[w])=0 div [v]=0.

1-El flujo senoidal tiene divergencia nula, Ñ[v]=0, lo que quiere decir es que no hay fuente ni sumidero de líneas de campo. Aplicamos que la divergencia es nula en la ecuación de continuidad y tenemos: dp/dt+rÑ[v]=0 è dp/dt=0; r=constante en el tiempo. 2-La densidad del fluido es independiente del tiempo, es decir, que se mantiene constante en cada punto. La densidad es estacionaria. Si el flujo es solenoidal en una tubería el caudal que entre es igual al que sale.

Flujo potencial: Aplicamos rotacional a ambos lados: Ñ[v]= Ñ(-Ñ[y])=0. El rotacional de un gradiente es nulo Ñ[v]=0. 1-El flujo potencial es un flujo irrotacional. 0=Ñ[v]=2W, [W]=0 no tiene velocidad de rotación. 2-Dado que en el fluido no aparecen rotaciones, si hay partículas que se desplazan con distintas velocidades no aparecen tensiones de cortadura, porque esto provocaría la rotación de las partículas por lo tanto en un fluido irrotacional no hay rozamientos entre las distintas partículas(no hay perdidas de energía).

Flujo rotacional: El vectorial rotacional (W) es distinto de cero y por lo tanto las partículas al desplazarse rotan y por ello tendrán ‘’spin’’ (giran sobre si mismas) [W]=1/2rot[v], [v]=1/2([Ñ][v])≠0, [W]=1/2(Ñ[v])= -Ñ((-1/2)[v]). El campo es solenoidal cuando [W]=0.

Estudio general de la aceleración de un flujo: Al utilizar el campo de velocidades será necesario utilizar el punto de vista lagrangiano. Al notar que x,y,z son funciones del tiempo, puede establecerse el campo de aceleraciones empleando la regla de la cadena para la derivada en la siguiente forma: a=(d/dt)v(x,y,z,t)= (¶v/¶x ¶x/¶t +¶v/¶y ¶y/¶t +¶v/¶z ¶z/¶t) + (¶v/¶t). Como x,y,z son las coordenadas de cualquier partícula, es claro que dx/dy, dy/dz, dz/dt deben ser las componentes escalares de la velocidad de cualquier partícula y, por consiguiente, pueden denominarse Vx, Vy, Vz respectivamente. Luego: ‘ecuacion(a)’ a=(Vx ¶v/¶x +Vy ¶v/¶y +Vz ¶v/¶z) +(¶v/¶t). Las tres ecuaciones escalares que corresponden a la ecuación anterior en las tres direcciones de coordenadas cartesianas son: ‘ecuaciones(b)’ ax=(Vx ¶Vx/¶x +Vy ¶Vx/¶y +Vz ¶Vx/¶z) + (¶Vx/¶t); ax=(Vx ¶Vy/¶x +Vy ¶Vy/¶y +Vz ¶Vy/¶z) + (¶Vy/¶t); ax=(Vx ¶Vz/¶x +Vy ¶Vz/¶y +Vz ¶Vz/¶z) + (¶Vz/¶t). La aceleración ‘a’ de cualquier partícula está dotada en función del campo de velocidad, de las derivadas espaciales parciales y de la derivada temporal dada en función de x,y,z,t y por consiguiente, también es una variable de campo. La aceleración de las partículas de fluido en un campo de flujo puede suponerse como la superposición de dos efectos: 1- En las expresiones del primer paréntesis miembro derecho de las ecuaciones a y b, la variable temporal explícita t se mantiene constante. En estas expresiones para un determinado tiempo t, se supone que el campo se convierte en permanente y continúa siéndolo en toda circunstancia, la partícula está en el proceso de cambiar de posición en este campo permanente, lo que experimenta un cambio en la velocidad debido a que la velocidad en diferentes posiciones de este campo será en general diferente en cualquier tiempo t. Esta tasa temporal de cambio de velocidad debida al cambio en la posición en el campo se conoce apropiadamente como aceleración de transporte o aceleración convectiva. 2-El término del segundo paréntesis de las ecuaciones de aceleración no se origina por el cambio de posición de la partícula, sino por la tasa de cambio del campo de velocidad en si mismo en el tiempo t, en la posición ocupada por la partícula. Algunas veces se conoce como aceleración local.

Ley de la viscosdad de Newton: Una propiedad muy importante se introducirá como consecuencia de la ley de viscosidad de Newton. Para el flujo bien ordenado en el que las partículas de fluido se mueven en líneas rectas y paralelas, la ley establece que para ciertos fluidos conocidos como fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la dirección de flujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, donde la diferenciación se toma en una dirección normal a la interfaz. Matemáticamente se establece como: t =a¶V/¶n. Se escoge un área infinitesimal en el flujo que sea paralela al eje de velocidad horizontal, como se muestra. Se dibuja la normal n a ésta área y se grafican las velocidades del fluido en puntos a lo largo de la normal, formando de esta manera un perfil correspondiente al elemente del área es el valor ¶V/¶n, en el cual se relaciona, tal como se planteó anteriormente, con el esfuerzo cortante t presente en la interfaz. Al insertar el coeficiente de proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega a final al resultado: t=m¶V/¶n donde m se conoce como el coeficiente de viscosidad, no depende en gran medida de la presión, se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura, mientras que un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre las moléculas. Esto se manifiesta en la propiedad del fluido que se ha llamado viscosidad. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre las moléculas y existe un decrecimiento en la ‘’pegajosidad’’ del fluido, es decir, en su viscosidad. En un gas las moléculas tiene una gran movilidad y generalmente están apartadas y actúan chocando unas con otras durante sus movimientos rápidos. La propiedad de viscosidad resulta de estos choques. En resumen, la viscosidad de un líquido ocurre por la cohesión y, por tanto, la viscosidad disminuye con el aumento de la temperatura. Por otra parte, la viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas. Este movimiento aleatorio aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que la presión tiene sólo un efecto pequeño sobre la viscosidad y, por lo general no se toma en cuenta. La variación de la viscosidad de los gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de las dos leyes conocidas, respectivamente, como la ley de Sutherland y la ley de potencia, como sigue: m=m0(T/T0)e’3/2’(T0+S)/T+S Sutherland  m=m0(T/T0)e’n’  Ley de potencia. Donde m0 es una viscosidad conocida a una temperatura absoluta T0 y donde S y n son constantes determinadas mediante el ajuste de una curva. Para determinar la viscosidad de los líquidos, se utiliza la siguiente fórmula: m=Aee’-BT’