Derivada Direccional, Vector Gradiente y Aplicaciones

Derivada Direccional

Definición:

Sea z = f(x, y) una función de dos variables. Consideremos:

• (x₀, y₀) un punto en su dominio.
• (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) el punto correspondiente sobre la gráfica.
• Sea u = ai + bj un vector unitario que determina una dirección en el plano xy.

La derivada direccional de f en (x₀, y₀) en la dirección de u se define como:

D_u f (x₀ , y₀) = lim_h→0 ||(f(x₀ + ha ; y₀ + hb) – f(x₀ , y₀))|| / h

Esta expresión representa la razón de cambio instantánea de f a medida que nos movemos desde (x₀, y₀) en la dirección de u.

Teorema para el Cálculo de la Derivada Direccional

Si z = f(x, y) es una función diferenciable de dos variables independientes y u = ai + bj es un vector unitario, entonces la derivada direccional de la función se calcula mediante:

D_u f (x, y) = ∂f(x, y)/∂x ⋅ a + ∂f(x, y)/∂y ⋅ b

Demostración:

Se considera que x, y, a y b son fijos y se considera g como la función de una variable s definida por:

g(s) = f(x + sa, y + sb)

Entonces, la derivada de g en s = 0 es:

g‘(0) = lim_s→0 (g(s) – g(0))/s

= lim_s→0 (f(x + sa, y + sb) – f(x, y))/s

= D_u f(x, y)

Luego se considera a g como una función compuesta tal que:

w = g(s) = f(r, v) y r = x + sa, v = y + sb.

Aplicando la regla de la cadena:

dw/ds = ∂w/∂r ⋅ dr/ds + ∂w/∂v ⋅ dv/ds

Usando las definiciones de w = g(s), r y v, esto se puede escribir como:

g‘(s) = ∂f/∂r(r, v) ⋅ a + ∂f/∂v(r, v) ⋅ b.

Si se toma s = 0, entonces r = x, v = y y, de la primera parte de la demostración, se deduce que g‘(0) = D_u f(x, y). Por lo tanto:

D_u f(x, y) = ∂f/∂x(x, y) ⋅ a + ∂f/∂y(x, y) ⋅ b

Teorema del Gradiente

El teorema del gradiente relaciona la derivada direccional con el gradiente de la función:

• D_u f(x, y) = ∇f(x, y) ⋅ u
• D_u f(x, y) = |∇f(x, y)| ⋅ |u| ⋅ cos α
• D_u f(x, y) = |∇f(x, y)| ⋅ cos α

Donde α es el ángulo entre el vector gradiente ∇f(x, y) y el vector unitario u.

-1 ≤ cos α ≤ 1

-|∇f(x, y)| ≤ D_u f(x, y) ≤ |∇f(x, y)|

Interpretación Geométrica del Gradiente:

• Sea z = f(x, y) una función de dos variables independientes que es diferenciable en (x, y).
• El valor máximo de D_u f(x, y) en el punto P(x, y) es ||∇f(x, y)|| calculado en el punto.
• La tasa de crecimiento máxima de f(x, y) en P(x, y) se alcanza en la dirección de ∇f(x, y).
• La tasa de decrecimiento máximo (o de mínimo crecimiento) de f(x, y) se alcanza en la dirección de -∇f(x, y).

Generalización a Tres Variables

Si w = f(x, y, z) es una función diferenciable de tres variables independientes y u = ai + bj + ck es un vector unitario, entonces la derivada direccional de la función se calcula mediante:

D_u f(x, y, z) = ∂f(x, y, z)/∂x ⋅ a + ∂f(x, y, z)/∂y ⋅ b + ∂f(x, y, z)/∂z ⋅ c

Definiendo el vector gradiente de f(x, y, z):

∇f(x, y, z) = ∂f(x, y, z)/∂x i + ∂f(x, y, z)/∂y j + ∂f(x, y, z)/∂z k

Resulta la derivada direccional en términos del gradiente:

D_u f(x, y, z) = ∇f(x, y, z) ⋅ u

Planos Tangentes y Rectas Normales a una Superficie

Sea S la gráfica de F(x, y, z) = 0 y sea P₀(x₀, y₀, z₀) un punto sobre S.

Si w = F(x, y, z) es una función con derivadas parciales continuas y sus derivadas parciales no son todas nulas en (x₀, y₀, z₀) entonces:

• El vector ∇F(x₀, y₀, z₀) es normal al plano tangente a S en P₀.

Sea C una curva con ecuaciones paramétricas x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Si r(t) = <f(t), g(t), h(t)>, entonces r‘(t) = <f‘(t), g‘(t), h‘(t)> es un vector tangente a C en P(x, y, z).

Para cada t el punto (f(t), g(t), h(t)) en C también está en S y por lo tanto, F(f(t), g(t), h(t)) = 0.

Si se toma w = F(x, y, z) y x = f(t), y = g(t), z = h(t) entonces aplicando la Regla de la Cadena y tomando en cuenta que w = 0 para todo t:

dw/dt = ∂w/∂x ⋅ dx/dt + ∂w/∂y ⋅ dy/dt + ∂w/∂z ⋅ dz/dt = 0.

De manera que:

∂F/∂x(x, y, z) ⋅ f‘(t) + ∂F/∂y(x, y, z) ⋅ g‘(t) + ∂F/∂z(x, y, z) ⋅ h‘(t) = 0

o, equivalentemente,

∇F(x, y, z) ⋅ r‘(t) = 0

para todo punto P(x, y, z) en C. En particular, si corresponde P₀(x₀, y₀, z₀) al t = t₀, entonces

∇F(x₀, y₀, z₀) ⋅ r‘(t₀) = 0.

Como r‘(t₀) es un vector tangente a C en P₀, esto implica que el vector ∇F(x₀, y₀, z₀) es perpendicular al plano tangente a S en P₀.

Ecuaciones del Plano Tangente y la Recta Normal

Ecuación del plano tangente a la gráfica de F(x, y, z) = 0 en el punto P₀(x₀, y₀, z₀):

∂F/∂x(x₀, y₀, z₀)(x – x₀) + ∂F/∂y(x₀, y₀, z₀)(y – y₀) + ∂F/∂z(x₀, y₀, z₀)(z – z₀) = 0

Ecuaciones paramétricas de la recta normal a la gráfica de F(x, y, z) = 0 en el punto P₀(x₀, y₀, z₀):

{ x = x₀ + ∂F/∂x(x₀, y₀, z₀) ⋅ t

{ y = y₀ + ∂F/∂y(x₀, y₀, z₀) ⋅ t , con t ∈ ℝ

{ z = z₀ + ∂F/∂z(x₀, y₀, z₀) ⋅ t

Ecuaciones cartesianas (en el caso que ninguna de las derivadas parciales se anule en (x₀, y₀, z₀)):

(x – x₀) / ∂F/∂x(x₀, y₀, z₀) = (y – y₀) / ∂F/∂y(x₀, y₀, z₀) = (z – z₀) / ∂F/∂z(x₀, y₀, z₀)

Caso Particular: Superficie dada por z = f(x, y)

Si S viene dada por la función z = f(x, y), tomando F(x, y, z) = f(x, y) – z = 0

∇F(x, y, z) = ∂f/∂x(x, y) i + ∂f/∂y(x, y) j – k

N = ∂f/∂x(x₀, y₀) i + ∂f/∂y(x₀, y₀) j – k

El plano tangente a la gráfica S representativa de z = f(x, y) en el punto (x₀, y₀, z₀) tiene como ecuación:

∂f/∂x(x₀, y₀)(x – x₀) + ∂f/∂y(x₀, y₀)(y – y₀) – (z – z₀) = 0

z – z₀ = ∂f/∂x(x₀, y₀)(x – x₀) + ∂f/∂y(x₀, y₀)(y – y₀)

La recta normal tendrá por ecuaciones paramétricas:

{ x = x₀ + ∂f/∂x(x₀, y₀) ⋅ t

{ y = y₀ + ∂f/∂y(x₀, y₀) ⋅ t , con t ∈ ℝ

{ z = z₀ – t

y las ecuaciones cartesianas (en el caso que ninguna de las derivadas parciales se anule en (x₀, y₀)):

(x – x₀) / ∂f/∂x(x₀, y₀) = (y – y₀) / ∂f/∂y(x₀, y₀) = (z – z₀) / (-1)

Resumen: Planos Tangentes y Rectas Normales a Superficies

• Si una superficie S está dada por F(x, y, z) = 0, y w = F(x, y, z) es una función con derivadas parciales continuas y sus derivadas parciales no son todas nulas en (x₀, y₀, z₀) entonces un vector normal a la superficie en el punto P₀(x₀, y₀, z₀) está dado por n = ∇F(x₀, y₀, z₀).
• Si S viene dada por la función z = f(x, y), con derivadas parciales continuas en (x₀, y₀, f(x₀, y₀)), entonces un vector normal a la superficie en el punto P₀(x₀, y₀, f(x₀, y₀)) es n = ∂f/∂x(x₀, y₀) i + ∂f/∂y(x₀, y₀) j – k.
• En ambos casos, teniendo el vector normal n y el punto P₀, pueden obtenerse las ecuaciones del plano tangente y la recta normal.

Superficies de Nivel y Vector Gradiente

Sea w = f(x, y, z)

• S₀: Superficie de nivel que pasa por P₀(x₀, y₀, z₀) ⇒ f(x, y, z) = f(x₀, y₀, z₀) ⇒ ∇f(x₀, y₀, z₀) es normal a S₀ en P₀(x₀, y₀, z₀).
• S₁: Superficie de nivel que pasa por P₁(x₁, y₁, z₁) ⇒ f(x, y, z) = f(x₁, y₁, z₁) ⇒ ∇f(x₁, y₁, z₁) es normal a S₁ en P₁(x₁, y₁, z₁).

Sea f(x, y, z) una función de tres variables independientes, diferenciable en P₀(x₀, y₀, z₀) y sea S la superficie de nivel que contiene a P₀(x₀, y₀, z₀). Si ∇f(x₀, y₀, z₀) ≠ 0, entonces el vector gradiente es normal a S en P₀(x₀, y₀, z₀).

Curvas de Nivel y Vector Gradiente

Sea f(x, y) una función de dos variables independientes, diferenciable en

P₀(x₀, y₀) y sea C la curva de nivel que contiene a P₀(x₀, y₀). Si

∇F(x₀, y₀) ≠ 0, entonces el vector gradiente es normal a C en P₀(x₀, y₀).

Sea f(x, y) = x² + 2y²

P(3, 1)

x² + 2y² = (3)² + 2(1)² = 11.

∇f(x, y) = 2xi + 4yj

∇f(3, 1) = 2(3)i + 4(1)j = 6i + 4j.