Extremos de Funciones de Varias Variables

Extremos Relativos

Una función z = f(x, y) tiene un máximo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:

f(x, y) ≤ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.

Una función z = f(x, y) tiene un mínimo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:

f(x, y) ≥ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.

Extremos Absolutos

La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.

La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.

Extremos Relativos: Teorema

Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) y las derivadas parciales de f existen en (a, b), entonces:

f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0

También puede ocurrir que z = f(x, y) tenga un extremo en (a, b) y allí las derivadas parciales no existan.

Punto Crítico

(a, b) ∈ Df es un punto crítico de z = f(x, y) si:

• f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0, o
• f_x(a, b) ∉ ℝ o f_y(a, b) ∉ ℝ

Condición Necesaria para la Existencia de Extremo Relativo

Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) ⇒ (a, b) es un punto crítico de f(x, y)

Esta condición es necesaria, pero no es suficiente.

Criterio para la Clasificación de Puntos Críticos

Sea z = f(x, y), con derivadas parciales segundas continuas en una región rectangular abierta R que contiene a (a, b), con f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0.

Definimos la función hessiana como:

g(x, y) = f_xx(x, y) ⋅ f_yy(x, y) – [f_xy(x, y)]², ∀(x, y) en R.

Extremos Absolutos

La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.

La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.

Teorema de Existencia de Extremos Absolutos

Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, entonces tiene un máximo absoluto f(a, b) y un mínimo absoluto f(c, d) en puntos (a, b) y (c, d) de R y se cumple:

f(c, d) ≤ f(x, y) ≤ f(a, b); ∀ (x, y) ∈ R

Teorema de Lagrange (Forma de Utilizarlo)

Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0. Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y) tiene un extremo en (x₀, y₀) y ∇g(x₀, y₀) ≠ 0 ⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x₀, y₀) = λ∇g(x₀, y₀)

Para encontrar candidatos a (x₀, y₀) se resuelve el sistema de ecuaciones:

{ f_x(x, y) = λg_x(x, y)

f_y(x, y) = λg_y(x, y)

g(x, y) = 0

Teorema de Lagrange (Con Curva con Puntos Finales)

Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0 (ecuación de una curva abierta con puntos finales A y B).

Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y) tiene un extremo en (x₀, y₀) y ∇g(x₀, y₀) ≠ 0 ⇒

⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x₀, y₀) = λ∇g(x₀, y₀)

Para encontrar candidatos a (x₀, y₀) se resuelve el sistema de ecuaciones:

{

f_x(x, y) = λg_x(x, y)

f_y(x, y) = λg_y(x, y)

g(x, y) = 0

Se agregan los puntos finales A y B de la curva como candidatos a extremos para su análisis.

Método para la Obtención de Extremos Absolutos en Regiones Cerradas y Acotadas

Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, alcanzará valores extremos, cada uno de los cuales puede estar:

• en el interior de la región, en cuyo caso será un Punto Crítico
• sobre la frontera de la región.

Procedimiento:

1. Se calculan los valores de la función en los puntos críticos de f(x, y) en el interior de R.
2. Se determinan los valores candidatos a extremos de f(x, y) sobre la frontera de R.
3. Se evalúa la función en todos los puntos encontrados.

El más grande es el valor máximo absoluto y el más pequeño es el valor mínimo absoluto.

Teorema de Lagrange en Tres Variables

Sean f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Sean f(x, y, z) y g(x, y, z) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y, z) tiene un máximo o mínimo en (x₀, y₀, z₀) cuando está sometido a la restricción g(x, y, z) = 0, y ∇g(x₀, y₀, z₀) ≠ 0, entonces existe un número real λ tal que:

∇f(x₀, y₀, z₀) = λ∇g(x₀, y₀, z₀)

Observación: el teorema es condición necesaria, pero no suficiente.

Teorema de Lagrange en Tres Variables, Dos Restricciones

Sean f(x, y, z) sujeta a las restricciones g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0.

Sean f(x, y, z), g(x, y, z) y h(x, y, z) funciones con derivadas parciales continuas. Si f(x, y, z) tiene un máximo o mínimo en (x₀, y₀, z₀) cuando está sometido a las restricciones g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0, y ∇g(x₀, y₀, z₀) ≠ 0 y ∇h(x₀, y₀, z₀) ≠ 0, entonces existen números reales λ y μ (Multiplicadores de Lagrange) tal que:

∇f(x₀, y₀, z₀) = λ∇g(x₀, y₀, z₀) + μ∇h(x₀, y₀, z₀)

Observación: el teorema es condición necesaria, pero no suficiente.

Teorema de Lagrange en Tres Variables, Dos Restricciones: Interpretación Geométrica

g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0 son superficies. Ambas se intersectan en la curva C y el punto (x₀, y₀, z₀) ∈ C.

Los vectores ∇g(x₀, y₀, z₀) y ∇h(x₀, y₀, z₀) son ambos ortogonales a la curva C y en consecuencia están contenidos en un plano normal a C.

Si f(x, y, z) alcanza un extremo absoluto en (x₀, y₀, z₀) cuando está restringida a la curva C, y ésta es una curva suave, en dicho punto la curva C será tangente a la superficie de nivel de f(x, y, z) que pasa por (x₀, y₀, z₀). En consecuencia el vector ∇f(x₀, y₀, z₀) resultará normal a la curva C y estará contenido en un plano normal a la misma, por lo cual será coplanar con los vectores ∇g(x₀, y₀, z₀) y ∇h(x₀, y₀, z₀). En consecuencia se cumple:

∇f(x₀, y₀, z₀) = λ∇g(x₀, y₀, z₀) + μ∇h(x₀, y₀, z₀),

para algún par de valores reales λ y μ.