Integrales y Otros Conceptos Matemáticos: Guía Completa

Integrales

sen²x + cos²x = 1, sen . cos = 1 · f’ . f_n, cos = -senx, senx = cosx

ln(1/x), f’/f exponencial f’ · e^f = e^f, logaritmo del número n^x = n^x/ln(n)

x’ · Sen(x) = -cosx , x’ · Cos(x) = senx arcotangente = x’/1 + x², Arcoseno x’/√(1-x²) Arcocoseno -x’/√(1-x²)

Cambio de variable.

Teorema de Rolle

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un valor medio c donde la derivada es cero.

Teorema del Valor Medio

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un valor medio c, tal que f(b) – f(a) / (b – a) = f'(c).

ATENCIÓN, CUANDO DIVIDES EN EL ARCOTANGENTE NO TE LO INVENTAS.

Asíntotas

• AV lim(lo que no es dominio) = ∞
• AH D > n, existe, límite al ∞ = n
• AO f(x) / x, f(x) – mx

Problemas de Optimización

V = x² · y , cara lateral x · y, base x · x

Relación: despejar x, sustituir en la fórmula la x, derivar el resultado de la sustitución de x, igualarlo a cero, sustituir el resultado en la primera función despejada.

Fórmula prisma con tapa: x² + 4xy + x².

Racional Irracional

Logarítmica, Exponencial

Probabilidad

(A ∪ B)’ = A’ ∪ B’ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Condicionada: P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) Incondicional P(A ∩ B) = P(A) P(B) P(A’) = 1 – P(A) P contraria (A ∪ B) = P contraria (A ∩ B) — P(A contraria ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) — P(B ∩ A’) = P(A) + P(A’ ∩ B)

Independientes P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

z < x 1 – P 10 · 0,3 = 3 años — z > -x = z < x z > x = 1 – P —– zx² – zx₁

Matrices

Rango de A = A’ = N incógnitas SCD, Rango de A = A’ ≠ Incógnitas SCI, Rango de A ≠ A’ Incompatible, Método de Cramer comprobar determinante es distinto de cero, calcular A_x / determinante cambiando la columna de x por los números de la matriz ampliada.

Álgebra: X – B = C matriz inversa lo de más menos impar par 21

Si el producto escalar (multiplicar filas por columnas) da cero son perpendiculares, si el producto vectorial da 0 son paralelos.

Posiciones Relativas de Dos Rectas

• 3, 4 cruzadas
• 3, 3 secantes
• 2, 3 paralelas
• 2, 2 coincidentes

Posiciones Relativas de Dos Planos

• 3 y 3 planos secantes
• 2 y 3 secantes
• 2 y 2 contenida

Producto mixto = 0 no son coplanarios AC, AD o sea se cortan.

Puntos que equidistan que tienen la misma distancia, o sea igualar.

Distancia entre dos puntos: módulo del vector director.

Distancia punto recta: sacar plano perpendicular y que contenga el punto. Calcular punto de corte y módulo del punto al punto de corte.

Distancia punto plano: sacar recta perpendicular y que contenga el punto, sustituir lo que nos da la recta en la ecuación del plano con el vector director respectivo, y nos dará delta que lo tenemos que sustituir en la paramétrica, que nos dará el punto de corte.

Distancia entre recta y plano y dos planos, tiene que ser paralelos, producto escalar dar cero. Fórmula: valor absoluto / a · x + b · y + c · z + d / partido vector normal elevado a 2.

Distancia entre dos rectas (que sean paralelas): fórmula módulo de PRPS x DS entre / módulo DS.

Distancia entre dos rectas que se cruzan: plano que contiene a s y es paralelo a r haciendo la matriz y utilizamos P, R con vector director del plano la fórmula primera.

Área de un triángulo: 1/2 por módulo de AB x AC.

Volumen tetraedro: 1/6 por matriz AB, AC, AD.

Ángulo entre puntos AB por AC / entre módulo de AB por módulo de AC.

Ángulo entre plano y recta: módulo vector normal · vector director de r, entre módulo de cada uno por separado y multiplicado.

Ángulo entre dos planos módulo r por s entre lo mismo pero separado y en las rectas igual.

Punto simétrico respecto a un plano: sacar recta que contenga el punto y es paralelo al plano, calcular intersección y punto simétrico 1 + x / 2 = 2. Punto simétrico respecto a una recta: Buscamos punto M de manera que el vector AM sea perpendicular al vector dirección: Punto de la recta + delta (vector director de la recta) 2 – se suma y se hace AM 3 – vector multiplicar AM por el vector director para sacar delta y por tanto M 4 – Punto simétrico M + AM — Recta simétrica respecto a otra (se cruzan): 1 – posición relativa si no son paralelas hacemos vector PRPS, para producto escalar de sus vectores directores y este vector, si no da cero se cruzan 2 – calcular plano con punto de s y los otros dos vectores directores, nos da la ecuación 3 – coger punto de r y vector director de la ecuación que hemos sacado y con eso paramétrica 4 – hacer donde se corta con el plano, 5 – punto simétrico 2P (punto de corte) – el punto de la recta r, 6 – con el punto sacado y el vector director de la recta a sacar recta paramétrica — Recta simétrica respecto a otra (paralela): 1 – posición relativa coincidente o paralelas, 2 – punto de r y vector de r y juntarlos para sacar D es decir la ecuación implícita (sustituir), nos da plano, 3 – punto de corte de la recta s con el plano, hacer los pasos de la anterior explicación a partir del punto 4.

Plano simétrico respecto de otro (secantes): 1 – posición relativa, 2 – sacar punto cualquiera del primer plano y vector director del plano b, con estos dos sacar recta paramétrica, 3 – hacer punto de corte con el segundo plano, 4 – punto simétrico, 5 – con los planos iniciales calcular la recta paramétrica, dando valor a z con delta 6 – con el punto simétrico el vector director de esta recta y el vector director del punto simétrico y de la recta y determinante para darnos ecuación del plano. Plano simétrico a otro (paralelos): 1 – posición relativa, sigue los pasos anteriores hasta el punto simétrico, 2 – donde con el y el vector director plano 1 con el plano pertenece al punto este, vector director 1x, 2y, 2z, — sustituir simétrico. Recta simétrica a un plano (secantes): 1 – posición relativa, 2 – punto de la recta y vector del director sacar paramétrica, 3 – punto de corte con el plano inicial, 4 – punto simétrico de este 2Q – P, 5 – Corte entre la recta inicial y el plano nos dará un punto, 6 – sacar recta paramétrica con el punto inicial de la recta y el vector director del punto simétrico y el último punto sacado. Recta simétrica a un plano (paralelas): 1 – posición relativa, con lo de siempre o con el producto escalar si da cero y existiendo el punto, 2 – mismo paso 2 que la anterior. 3 – 3 mismo punto, 4 – punto simétrico, 5 – con el punto simétrico y el vector director de la recta inicial sacar recta paramétrica.