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Resolución de problemas matemáticos
Resolución de problemas matemáticos
Problema 1: Crecimiento de una planta
El crecimiento de una planta se puede calcular utilizando la expresión H = 2 + 1/2x, donde H representa la altura de la planta en centímetros y x el tiempo de vida que transcurre en semanas. Si una planta mide 20 centímetros de altura, ¿Cuántas semanas de vida tiene la planta?
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48
Desarrollo:
20 = 2 + 1/2x
20 – 2 = 1/2x
18 = 1/2x
18 * 2 = x
36 = x
Respuesta correcta: C (36 semanas)
Problema 2: Contaminación atmosférica
La contaminación atmosférica en una ciudad varía de acuerdo a la hora del día. Sea t el número de horas transcurridas después de las 6:00 AM. La expresión C = 36 – 2t, permite calcular el índice de contaminación en ppm (partículas por millón). ¿A qué hora hubo un índice de contaminación de 30 ppm?
a) 3:00 AM b) 9:00 AM c) 12:00 PM d) 18:00 PM
Desarrollo:
C = 36 – 2t
30 = 36 – 2t
30 – 36 = -2t
-6 = -2t
3 = t
Si t = 3 horas, entonces la hora con un índice de contaminación de 30 ppm es a las 9:00 AM (6:00 AM + 3 horas).
Respuesta correcta: B (9:00 AM)
Problema 3: Suma de números consecutivos
La suma de 25 números consecutivos da como resultado 9.475. ¿Cuál es el mayor de estos números?
a) 258 b) 348 c) 369 d) 391
Desarrollo:
Utilizaremos la fórmula para la suma de una progresión aritmética: S = n/2 * (a + l), donde S es la suma, n es el número de términos, a es el primer término y l es el último término.
En este caso, n = 25 y S = 9.475. Como los números son consecutivos, la diferencia entre ellos es 1. Podemos expresar el último término (l) en función del primer término (a): l = a + 24.
Sustituyendo en la fórmula:
9.475 = 25/2 * (a + a + 24)
9.475 = 25/2 * (2a + 24)
9.475 = 25a + 300
9.175 = 25a
a = 367
El número mayor es l = a + 24 = 367 + 24 = 391
Respuesta correcta: D (391)
Problema 4: Suma de números consecutivos
La suma de 20 números consecutivos da como resultado -130. ¿Cuál es el menor de estos números?
a) -45 b) -24 c) -16 d) -4
Desarrollo:
Utilizaremos la misma fórmula que en el problema anterior: S = n/2 * (a + l)
En este caso, n = 20 y S = -130. De nuevo, l = a + 19.
-130 = 20/2 * (a + a + 19)
-130 = 10 * (2a + 19)
-130 = 20a + 190
-320 = 20a
a = -16
Respuesta correcta: C (-16)
Problema 5: Precio de un libro
El doble del precio de un libro disminuido en $1.200 equivale a un tercio del precio del mismo libro aumentado $13.050. ¿Cuál es el precio de tres libros?
a) $15.950 b) $21.550 c) $25.650 d) $30.250
Desarrollo:
Sea x el precio de un libro. La ecuación que representa el problema es:
2x – 1200 = (1/3)x + 13050
Resolviendo para x:
(5/3)x = 14250
x = 8550
El precio de tres libros es 3 * 8550 = 25650
Respuesta correcta: C ($25.650)
Problema 6: Peso de Claudia
El cuádruple del peso de Claudia menos 20,6 kilos es equivalente a 3/5 del peso de Claudia aumentado en 201,42 kilos. De acuerdo a esta información, ¿Cuántos kilos pesa Claudia?
a) 65,3 kg b) 73,8 kg c) 75,6 kg d) 81,3 kg
Desarrollo:
Sea C el peso de Claudia. La ecuación que representa el problema es:
4C – 20.6 = (3/5)C + 201.42
Resolviendo para C:
(17/5)C = 222.02
C = 65.3
Respuesta correcta: A (65,3 kg)
Problema 7: Remuneración diaria
Un trabajador realiza faenas diarias durante 20 días, obteniendo un sueldo de $347.200. Si la remuneración de cada día es $1.234 más que el día anterior, ¿Cuál es la remuneración que recibió el primer día?
a) $2.563 b) $3.478 c) $4.726 d) $5.637
Desarrollo:
Este problema se puede resolver utilizando la fórmula de la suma de una progresión aritmética. La primera remuneración es el primer término (a), la diferencia entre cada remuneración es 1234 (d) y el número de términos es 20 (n). La suma de las remuneraciones es 347200 (S).
Sustituyendo en la fórmula S = (n/2) * (2a + (n-1)d):
347200 = (20/2) * (2a + (20-1) * 1234)
347200 = 10 * (2a + 19 * 1234)
34720 = 2a + 23446
11274 = 2a
a = 5637
Respuesta correcta: D ($5.637)
Problema 8: Habitaciones en un edificio
Un edificio de 110 habitaciones tiene 5 pisos. Si cada piso tiene 6 habitaciones menos que el piso anterior, ¿Cuántas habitaciones hay en el tercer piso?
a) 18 b) 22 c) 26 d) 30
Desarrollo:
Sea x el número de habitaciones en el primer piso. Entonces, el segundo piso tiene x – 6 habitaciones, el tercer piso tiene x – 12, y así sucesivamente.
La suma de las habitaciones en los 5 pisos es 110:
x + (x – 6) + (x – 12) + (x – 18) + (x – 24) = 110
5x – 60 = 110
5x = 170
x = 34
El tercer piso tiene x – 12 = 34 – 12 = 22 habitaciones.
Respuesta correcta: B (22)
Problema 9: Regalo de cumpleaños
Marco y Tito compraron un regalo de $14.625 para un amigo que estaba de cumpleaños. Si Marco aportó $2.119 más que Tito, ¿Cuánto dinero aportó Marco?
a) $8.372 b) $8.453 c) $8.537 d) $8.653
Desarrollo:
Sea x la cantidad que aportó Tito. Entonces, Marco aportó x + 2119.
La suma de sus aportes es 14625:
x + (x + 2119) = 14625
2x = 12506
x = 6253
Marco aportó 6253 + 2119 = 8372
Respuesta correcta: A ($8.372)
Problema 10: Puntos en el banco
Patricia y Loreto juntan puntos en un banco. Si se sabe que Patricia tiene 1.818 puntos menos que Loreto y que la suma de los puntos de ambas es 16.546, ¿Cuántos puntos tiene Patricia?
a) 7.364 b) 7.645 c) 7.654 d) 7.765
Desarrollo:
Sea x la cantidad de puntos de Loreto. Entonces, Patricia tiene x – 1818 puntos.
La suma de sus puntos es 16546:
x + (x – 1818) = 16546
2x = 18364
x = 9182
Patricia tiene 9182 – 1818 = 7364 puntos.
Respuesta correcta: A (7.364)
Problema 11: Gastos de Daniela
Daniela gasta la tercera parte de su sueldo en alimentarse y cuatro quintos del resto en arriendo. Si después de pagar estas cuentas se queda con $80.000, ¿Cuál es el sueldo total que recibe Daniela?
a) $240.000 b) $480.000 c) $600.000 d) $720.000
Desarrollo:
Sea x el sueldo total de Daniela.
Gasta (1/3)x en alimentación. Le quedan (2/3)x.
Gasta (4/5) * (2/3)x = (8/15)x en arriendo.
Después de los gastos, le quedan 80000:
x – (1/3)x – (8/15)x = 80000
(2/15)x = 80000
x = 600000
Respuesta correcta: C ($600.000)
Problema 12: Compra de un producto
Luisa compra un producto en una casa comercial. Paga 2/7 del producto con un cheque, 2/5 del resto con una tarjeta de crédito, quedando un saldo de $262.680 que cancela en efectivo. ¿Cuál es el valor del producto?
a) $612.920 b) $622.920 c) $632.920 d) $642.920
Desarrollo:
Sea x el valor del producto.
Paga (2/7)x con cheque. Le quedan (5/7)x.
Paga (2/5) * (5/7)x = (2/7)x con tarjeta de crédito.
Le quedan (5/7)x – (2/7)x = (3/7)x, que paga en efectivo.
Entonces:
(3/7)x = 262680
x = 612920
Respuesta correcta: A ($612.920)
Problema 13: Zapallo cortado
Un zapallo de 28,6 kilogramos es cortado en tres partes. El primer trozo pesa 4 + 2x/5 kg., el segundo trozo pesa 4x – 3 kg. y el tercer trozo pesa 24 – x kg. ¿Cuánto pesa el segundo trozo?
a) 2 kilos b) 5 kilos c) 8 kilos d) 11 kilos
Desarrollo:
La suma de los pesos de los tres trozos debe ser igual al peso total del zapallo:
(4 + 2x/5) + (4x – 3) + (24 – x) = 28.6
Para eliminar la fracción, multiplicamos toda la ecuación por 5:
20 + 2x + 20x – 15 + 120 – 5x = 143
17x + 125 = 143
17x = 18
x = 18/17
El segundo trozo pesa 4x – 3 = 4(18/17) – 3 = 2 kilos.
Respuesta correcta: A (2 kilos)
Problema 15: Capacidad del tanque de combustible
Al comenzar la semana, el estanque de un vehículo está lleno con la capacidad máxima de bencina. A mediados de semana, el conductor se da cuenta que se ha consumido 2/5 del combustible que había originalmente, por lo que decide pasar a una estación de servicios para cargar 8 litros de combustible, quedando el estanque con 7/9 de la capacidad máxima de combustible. Dada esta información, ¿Cuál es la capacidad máxima de combustible del vehículo en cuestión?
a) 23 litros b) 34 litros c) 45 litros d) 56 litros
Desarrollo:
Sea L la capacidad máxima del tanque. Después de consumir 2/5, quedan (3/5)L. Al agregar 8 litros, hay (3/5)L + 8, que equivale a (7/9)L.
Entonces:
(3/5)L + 8 = (7/9)L
Para eliminar las fracciones, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de 5 y 9, que es 45:
27L + 360 = 35L
8L = 360
L = 45
Respuesta correcta: C (45 litros)
Problema 16: Capacidad del depósito de agua
Un depósito de agua se encuentra lleno. Se saca de su interior una cantidad correspondiente a 5/7 de su capacidad total, luego se reponen 1.650 litros, quedando el depósito con la mitad de su capacidad total. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?
a) 7.500 litros b) 7.700 litros c) 7.900 litros d) 8.100 litros
Desarrollo:
Sea x la capacidad total del depósito.
Se saca (5/7)x. Quedan (2/7)x.
Se reponen 1650 litros. Hay (2/7)x + 1650, que equivale a (1/2)x.
Entonces:
(2/7)x + 1650 = (1/2)x
-(3/14)x = -1650
x = 7700
Respuesta correcta: B (7.700 litros)
Problema 17: Edades de padre e hijo
Un hijo tiene actualmente 46 años menos que el padre. Dentro de 12 años, el padre tendrá el triple de la edad del hijo. ¿Cuántos años tenía el padre hace 5 años atrás?
a) 47 b) 52 c) 57 d) 62
Desarrollo:
Sea X la edad actual del padre e Y la edad actual del hijo.
X = Y + 46
Dentro de 12 años:
X + 12 = 3(Y + 12)
X + 12 = 3Y + 36
X = 3Y + 24
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
X = Y + 46
X = 3Y + 24
Igualando ambas expresiones para X:
Y + 46 = 3Y + 24
-2Y = -22
Y = 11
Sustituyendo Y en la primera ecuación:
X = 11 + 46 = 57
La edad del padre hace 5 años era 57 – 5 = 52 años.
Respuesta correcta: B (52)
Problema 18: Suma y diferencia de dos números
La suma de dos números es 995/1537 y su diferencia es 571/1537. ¿Cuál es el mayor de los dos números?
a) 26/75 b) 27/53 c) 13/9 d) 1/1537
Desarrollo:
Sea x el número mayor e y el número menor.
x + y = 995/1537
x – y = 571/1537
Sumando ambas ecuaciones:
2x = 1566/1537
x = 27/53
Respuesta correcta: B (27/53)
Problema 19: Suma y diferencia de dos números
La suma de dos números es -36,18 y su diferencia es 11,56. ¿Cuál es el menor de los dos números?
a) -23,87 b) -7,82 c) -1,31 d) 12,63
Desarrollo:
Sea x el número mayor e y el número menor.
x + y = -36.18
x – y = 11.56
Sumando ambas ecuaciones:
2x = -24.62
x = -12.31
Sustituyendo x en la primera ecuación:
-12.31 + y = -36.18
y = -23.87
Respuesta correcta: A (-23,87)
Problema 21: Envasado de agua
Se desea envasar 57 litros de agua en botellas de 1/2 litro y 1¼ litro. Si se dispone de 60 botellas, ¿Cuántas botellas de 1¼ fueron utilizadas?
a) 34 b) 36 c) 38 d) 40
Desarrollo:
Sea X el número de botellas de 1/2 litro e Y el número de botellas de 1¼ litro.
X + Y = 60
(1/2)X + (5/4)Y = 57
Para eliminar X, multiplicamos la primera ecuación por -1/2:
-(1/2)X – (1/2)Y = -30
Sumando esta ecuación a la segunda ecuación:
(3/4)Y = 27
Y = 40
Respuesta correcta: D (40)
Problema 23: Entradas al zoológico
En un zoológico, un grupo de 12 niños y 8 adultos pagaron en total $42.600. Otro grupo conformado por 15 niños y 22 adultos pagaron $94.650. ¿Cuál es la diferencia de precios entre una entrada de adulto y una entrada de niño?
a) $ 1.250 b) $1.800 c) $2.200 d) $2.550
Desarrollo:
Sea N el precio de la entrada de niño y A el precio de la entrada de adulto.
12N + 8A = 42600
15N + 22A = 94650
Para eliminar N, multiplicamos la primera ecuación por -5 y la segunda ecuación por 4:
-60N – 40A = -213000
60N + 88A = 378600
Sumando ambas ecuaciones:
48A = 165600
A = 3450
Sustituyendo A en la primera ecuación:
12N + 8(3450) = 42600
12N = 14700
N = 1225
La diferencia de precios es A – N = 3450 – 1225 = 2225
Respuesta correcta: D ($2.550)
Problema 26: Molécula de azúcar
Una molécula de azúcar está compuesta por átomos de hidrógeno, oxígeno y carbono. Se sabe que los átomos de hidrógeno son el doble que los átomos de oxígeno y que los átomos de carbono son uno más que los de oxígeno. Si la molécula de azúcar tiene en total 45 átomos, ¿Cuántos átomos de hidrógeno tiene la molécula?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 22
Desarrollo:
Sea H el número de átomos de hidrógeno, O el número de átomos de oxígeno y C el número de átomos de carbono.
H = 2O
C = O + 1
H + O + C = 45
Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera ecuación:
2O + O + (O + 1) = 45
4O = 44
O = 11
Entonces, H = 2O = 2 * 11 = 22
Respuesta correcta: D (22)
Problema 27: Inecuación
Al resolver la inecuación (2 – x)/3 – (x – 1)/2 >= (3 – x)/4, se obtiene:
a) x >= 5/7 b) x >= -5/7 c) x <= 5/7 d) x <= -5/7
Desarrollo:
Para eliminar las fracciones, multiplicamos toda la inecuación por el mínimo común múltiplo de 3, 2 y 4, que es 12:
4(2 – x) – 6(x – 1) >= 3(3 – x)
8 – 4x – 6x + 6 >= 9 – 3x
-7x >= -5
x <= 5/7
Respuesta correcta: C (x <= 5/7)
Problema 28: Inecuación
La solución de la inecuación (2x – 1)(2 – x) + (1 + 2x)(x + 3) >= 13 es:
a) ]-∞, 1] b) ]-∞, -1] c) [1, +∞[ d) [-1, +∞[
Desarrollo:
Expandiendo la inecuación:
4x – 2x2 – 2 + x + x + 3 + 2x2 + 6x >= 13
12x >= 12
x >= 1
Respuesta correcta: C ([1, +∞[)
Problema 32: Edades de un matrimonio
Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio, ¿Qué edad tienen actualmente?
X=novio;Y=novia
X+Y=62==>por-1⇒-X-Y=-62
X-10=¾(Y-10)==>X=3/4Y-15/2+10==>X=3/4Y+35/2==>X-3/4Y=35/2
-Y-3/4Y=35/2-62
-7/4Y=-89/2
Y=-89/2 : -7/4
Y= 178/7
X=62- 178/7= 256/7