Conceptos Clave

Producto Escalar

  • Si el producto escalar da cero, los vectores son perpendiculares.

Producto Vectorial

  • Si el producto vectorial da cero, los vectores son paralelos.

Posiciones Relativas

Rectas

  • Dos rectas pueden ser:
    • Cruzadas
    • Secantes
    • Paralelas
    • Coincidentes

Planos

  • Dos planos pueden ser:
    • Secantes
    • Paralelos
    • Coincidentes

Producto Mixto

  • Si el producto mixto de tres vectores da cero, los vectores son coplanarios.

Puntos que Equidistan

  • Dos puntos equidistan de otro si tienen la misma distancia a ese punto.

Distancias

Distancia entre Dos Puntos

  • La distancia entre dos puntos es el módulo del vector director que los une.

Distancia de un Punto a una Recta

  • Se calcula la ecuación del plano perpendicular a la recta que contiene al punto.
  • Se calcula el punto de corte entre la recta y el plano.
  • La distancia es el módulo del vector que va del punto al punto de corte.

Distancia de un Punto a un Plano

  • Se calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano que contiene al punto.
  • Se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.
  • Se obtiene el valor de λ y se sustituye en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener el punto de corte.
  • La distancia es el módulo del vector que va del punto al punto de corte.

Distancia entre una Recta y un Plano Paralelos

  • Se calcula el valor absoluto de la expresión ax + by + cz + d, donde a, b y c son los coeficientes de x, y y z en la ecuación del plano, y d es el término independiente.
  • Se divide el resultado anterior entre el módulo del vector normal al plano.

Distancia entre Dos Rectas Paralelas

  • Se calcula el módulo del producto vectorial del vector que une un punto de cada recta con el vector director de una de las rectas.
  • Se divide el resultado anterior entre el módulo del vector director de una de las rectas.

Distancia entre Dos Rectas que se Cruzan

  • Se calcula la ecuación del plano que contiene a una de las rectas y es paralelo a la otra.
  • Se utiliza la fórmula de la distancia entre un punto y un plano, tomando como punto un punto cualquiera de la recta que no está contenida en el plano.

Áreas

Área de un Triángulo

  • El área de un triángulo es igual a 1/2 del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

Volúmenes

Volumen de un Tetraedro

  • El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que coinciden con tres aristas concurrentes del tetraedro.

Ángulos

Ángulo entre Dos Vectores

  • El coseno del ángulo entre dos vectores es igual al producto escalar de los vectores dividido entre el producto de sus módulos.

Ángulo entre un Plano y una Recta

  • El seno del ángulo entre un plano y una recta es igual al valor absoluto del producto escalar del vector normal al plano y el vector director de la recta, dividido entre el producto de sus módulos.

Ángulo entre Dos Planos

  • El coseno del ángulo entre dos planos es igual al valor absoluto del producto escalar de los vectores normales a los planos dividido entre el producto de sus módulos.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

  1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.
  2. Calcular la distancia entre los puntos A y B.
  3. Sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta para encontrar el valor de λ.
  4. Comprobar las soluciones encontradas.
  5. Sustituir el valor de λ en la ecuación de la recta para obtener las coordenadas de los puntos.

Ejercicio 2

  1. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta.
  2. Sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano para encontrar el valor de λ.
  3. Calcular las coordenadas del punto simétrico.

Ejercicio 3

  1. Calcular los vectores normales de los dos planos y su producto escalar.
  2. Encontrar el vector director de la recta perpendicular a los dos planos.
  3. Encontrar la ecuación de la recta utilizando el vector director y un punto de la recta.