Teoremas Fundamentales del Cálculo: Derivadas, Integrales y Series

La Diferencial

ΔY = F(x + Δx) – F(x), dy = F'(x)dx

Teorema de Rolle

Sea F una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f'(c) = 0.

Demostración:

Como f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe un máximo M y un mínimo m. Sea M = f(x₀) y m = f(x₁). Si M = m = f(a) = f(b), resulta que f(x) ≤ f(x₀) y f(x₁) ≤ f(x), por lo tanto, f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₀) y f(x₁) = f(x₀) = f(a) = f(b). Por lo tanto, f(x) = f(x₀) = f(x₁) x [a, b]; es decir, la función es constante en [a, b]. Luego, f'(x) = 0 x [a, b] y el teorema queda demostrado. Si M f(a) y, por lo tanto, distinto de f(b), entonces x₀ (a, b).

Teorema de Lagrange o del Valor Medio

Sea la función f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:

Demostración:

Definimos una función Q(x) de la siguiente manera: Q(x) = f(x) – (x – a) con a ≤ x ≤ b. Vemos que Q(x) verifica las tres hipótesis del teorema de Rolle:

• Q(x) es continua porque es suma y resta de funciones continuas.
• Q(x) es derivable en (a, b) ya que Q'(x) = f'(x) – y existe f'(x) en (a, b).
• Q(a) = f(a) = Q(b).

Entonces, por el teorema de Rolle, existe un punto c tal que a = 0 → f'(c) = , con lo que queda demostrado el teorema.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Sea f(x) definida en [a, b],

Demostración:

Sean a₁ b₁ puntos arbitrarios de [a, b]. Entonces, por el teorema del valor medio (continua y derivable), existe , comprendido entre a₁ y b₁ con: Luego, el numerador es cero, o lo que es lo mismo, f(b₁) = f(a₁) = c, como se quería demostrar.

Corolario:

Sean f(x) y g(x) definidas en [a, b], f'(x) = g'(x) en (a, b) , es decir, que si dos funciones tienen derivadas iguales, solamente difieren entre sí en una constante.

Series de Funciones

Contacto de Dos Curvas

Si dos curvas se cortan en un punto x = a, se dice que tienen un contacto de orden cero. Si en el punto de contacto tienen derivadas primeras iguales, es decir, si tienen igual tangente, se dice que tales curvas tienen un contacto de primer orden. En general, si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual valor en un cierto punto x = a y, además, en dicho punto tienen iguales derivadas sucesivas, se dice que las dos curvas tienen contacto de orden n.

Serie de Taylor

Se tienen las siguientes aproximaciones:

1. F₀(x) = f(a) (aproximación de orden 0)
2. f₁(x) = f(a) + f'(x-a) (aproximación lineal)
3. f₂(x) = f(a) + f'(x-a) + 1/2f”(x-a)² (aproximación cuadrática)

Teorema de Abel

1. Si una serie de potencias converge para un cierto valor , entonces converge absolutamente para todo valor de x tal que |x| 1|.
2. diverge para un valor x = x₂, entonces diverge para todos aquellos valores de x para los que se cumple |x| > |x₂|.

Si tenemos :

1. La serie converge cuando x = a.
2. Es absolutamente convergente para todos los valores de x.
3. Existe un número R tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales que |x – a|

Integral

• Se dice que una función F(x) es una primitiva de otra función f(x) sobre un intervalo (a, b) si para todo x de (a, b) se tiene que F'(x) = f(x).
• El conjunto de todas las primitivas de una función f(x) definida en (a, b) se denomina integral indefinida de f(x) y se denota por ∫f(x)dx = F(x) + c.

Propiedades de la Integral Indefinida

Regla de Barrow

Si F(x) es una primitiva de la función continua f(x), se verifica que:

Integral Definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales x = a y x = b.

Integración por Partes

Se usa para hallar la primitiva de un producto de funciones. Sabemos que la regla de derivación del producto es: Si todos los términos son integrables, entonces tenemos lo siguiente: Simplificando: Haciendo pasaje de términos:

Series

Convergencia

Una sucesión es sumar un a_n infinitas veces, puede que los valores de esta suma se vayan aproximando a un cierto valor S; es decir, que la sucesión tiene límite S. En este caso, decimos que la serie converge a dicho valor. Si la sucesión no tiene límite, o sea, crece o decrece indefinidamente, diverge a ±∞.

Serie Geométrica

La razón es q |q|

Criterios de Convergencia

Existe la serie con r = p/q. Se puede demostrar que si 0 ≤ r ≤ 1 diverge, y si r > 1 converge.

• Serie Alternada: Si sus términos son positivos y negativos alternadamente.
• Criterio de D’Alembert: lim a_n/a_n-1 = L. Si L 1 diverge.
• Criterio de Cauchy: lim √a_n = L. Si L 1 diverge.
• Criterio de Raabe: lim n(1 – a_n/a_n-1) = L. Si L > 1 converge, si L
• Criterio de Leibniz: 1) a_n > a_n+1 (decrece), 2) lim a_n = L = 0 converge, distinto de 0 diverge.
• Criterio de Comparación: 1/n diverge, 1/n² converge, lim a_n/b_n = L > 0 converge o diverge, 0 > L.

Serie de Potencias (cuando hay x)

lim |x|