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Entradas etiquetadas con cálculo
Teoremas Fundamentales del Cálculo: Derivadas, Integrales y Series
11 abril, 2025
en Matemáticas
La Diferencial
ΔY = F(x + Δx) – F(x), dy = F'(x)dx
Teorema de Rolle
Sea F una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f'(c) = 0.
Demostración:
Como f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe un máximo M y un mínimo m. Sea M = f(x0) y m = f(x1). Si M = m = f(a) = f(b), resulta que f(x) ≤ f(x0) y f(x1) ≤ f(x), por lo tanto, f(x1) ≤ f(x) ≤ (más…)
Conceptos Fundamentales de Cálculo: Integrales, Derivadas y Ecuaciones Diferenciales
14 enero, 2025
en Matemáticas
Integral de Riemann
La integral definida de Riemann se define como: ∫abf(x)dx = lim(h→∞)∑ f(Xi*)ΔXi. Si Xi* es el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo: Xi*=Xi=a+i(b-a/n) para una partición regular. Entonces: ∫abf(x)dx = lim(h→∞)∑ f(a+i(b-a/n)(b-a/n). Se puede sacar el último (b-a/n) afuera de la sumatoria.
Existencia de la Integral
∫abf(x)dx existe si f es continua en [a,b]. En el caso que f no sea continua en [a,b] y tenga un número finito de discontinuidades (más…)
Continuidad, Derivadas y Matrices en Cálculo
30 marzo, 2024
en Matemáticas
Continuidad de una función
Una función f es continua en x=a si se cumplen las tres condiciones: i) existe f(a). ii) existe lim x→a f(x). iii) f(a)=lim x→a f(x). Una función f es continua en un intervalo [a, b] si f es continua V x ε [a, b].
Tipos de discontinuidades
1. Discontinuidad evitable: existe el límite en x=a pero no coincide con la imagen de la función en x=a, también cuando no existe f(a) pero sí el límite. 2. Discontinuidad inevitable de salto finito: los límites laterales (más…)