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Teoremas Fundamentales del Cálculo: Derivadas, Integrales y Series
La Diferencial
ΔY = F(x + Δx) – F(x), dy = F'(x)dx
Teorema de Rolle
Sea F una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f'(c) = 0.
Demostración:
Como f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe un máximo M y un mínimo m. Sea M = f(x0) y m = f(x1). Si M = m = f(a) = f(b), resulta que f(x) ≤ f(x0) y f(x1) ≤ f(x), por lo tanto, f(x1) ≤ f(x) ≤ (más…)
Formulario de Cálculo Avanzado: Guía Práctica
Cálculo Avanzado: Fórmulas y Métodos Esenciales
Función Inversa
- Despejar *x* en función de *y*.
- Renombrar *x* por *y*-1.
Paridad de Funciones
- *f(x)* es par si *f(x) = f(-x)*.
- *f(x)* es impar si *f(x) = -f(-x)*.
Funciones Definidas a Trozos
- *f(x) := if cond1 then exp1 else exp2*
- *f(x) := if cond1 then exp1 else if cond2 then exp2 else exp3*
Para calcular el límite, hacerlo sobre cada trozo por separado.
Límites de Funciones
*limit(f(x), x, x0, plus/minus/inf/minf)*
Continuidad de Funciones
- *f(c)* existe, (más…)
Continuidad, Derivadas y Matrices en Cálculo
Continuidad de una función
Una función f es continua en x=a si se cumplen las tres condiciones: i) existe f(a). ii) existe lim x→a f(x). iii) f(a)=lim x→a f(x). Una función f es continua en un intervalo [a, b] si f es continua V x ε [a, b].
Tipos de discontinuidades
1. Discontinuidad evitable: existe el límite en x=a pero no coincide con la imagen de la función en x=a, también cuando no existe f(a) pero sí el límite. 2. Discontinuidad inevitable de salto finito: los límites laterales (más…)